直和とテンソル | 基底と基底でテンソルをとると基底になる証明【有限次元だと次元×次元】

2023年4月19日

" 直和とテンソル “は、合わせて押さえておくと、加群の同型に慣れてきます。

可換環R上の加群の基底どおしでテンソルをとると、テンソル積の基底となることを証明します。

事実として結果を知っていることも大切ですし、理論の証明で使われる考え方は、その後の学習の基礎になります。

加法群の直和から議論を始めます。

まず、加法群の直和について、必要な命題を証明します。

この命題によって、直和とテンソル積についての同型対応が得られます。

直和とテンソル :加法群の直和

各 G_λ (λ∈Λ) たちを加法群とします。
このとき、加法群たちの直積群の定義から押さえます。

Π_λ∈ΛG_λ という直積集合の元は、
Λ から ∪_λ∈ΛG_λ という和集合への写像全体です。

各 λ ∈ Λ に対して、G_λ の単位元 0_λ を対応させることができます。そのため、選択公理を使わなくても、直積集合が空でないということになります。

Π_λ∈ΛG_λ の元を (a_λ)_λ∈Λ と表します。

各 λ ∈ Λ に対して、G_λ の元 a_λ を対応させる写像ということを表しています。

そして、(a_λ)_λ∈Λ について、a_λ を λ 成分の値と呼ぶことにします。

(a_λ)_λ∈Λ, (b_λ)_λ∈Λ という直積集合の元に対して、和を次のように定義します。

各 λ ∈ Λ に対して、a_λ + b_λ を λ 成分の値とする写像である (a_λ + b_λ)_λ∈Λ が、(a_λ)_λ∈Λ と (b_λ)_λ∈Λ の和です。
※ a_λ + b_λ は G_λ において既に定義されている加法です。

これで、Π_λ∈ΛG_λ は外部直積群となります。

この直積群の元で、有限個の λ を除いて a_λ が G_λ の単位元となっているものをすべて集めた部分集合を考えます。

その部分集合を ⊕_λ∈ΛG_λ と表します。

⊕_λ∈ΛG_λ は Π_λ∈ΛG_λ における加法について、部分群となっています。

この加法群 ⊕_λ∈ΛG_λ を、
G_λ (λ∈Λ) の外部直和といいます。

各 G_λ (λ∈Λ) たちが、加法群 H の部分群で、それぞれが H の内部直和因子となっているときは、G_λ (λ∈Λ) の外部直和と加法群として同型になっています。

射影と入射

記号ですが、1^G_λ は G_λ から G_λ への恒等写像のことです。1^G だと、G から G への恒等写像です。

また、(a_λ)_λ∈Λ ∈ Π_λ∈ΛG_λ が、どの λ ∈ Λ に対しても、a_λ = 0_λ となっているときに、単に 0 と表すことにします。

この 0 が Π_λ∈ΛG_λ の加法群としての単位元です。

ここで、各 λ ∈ Λ に対して、
p_λ : Π_λ∈ΛG_λ → G_λ を

p_λ((a_μ)_μ∈Λ) = a_λ と定義します。

λ 成分への射影といいます。
※ G_λ が R-加群のときは、R-準同型写像となっています。

i_λ : G_λ → Π_λ∈ΛG_λ を

i_λ(a_λ) = (b_μ)_μ∈Λ とし、λ = μ のとき、b_μ = a_λ,
λ ≠ μ のときは、b_μ = 0_μ（G_μ の単位元）と定義します。

これを λ 成分からの入射といいます。

※ λ 成分以外のすべての成分が零元となっている直積の元を対応させるというものです。

合成写像を考えると、p_λ・i_λ = 1^G_λ です。

λ ≠ μ のとき、p_μ・i_λ = 0

もう一つ記号ですが、δ_λ,μ は λ ≠ μ のとき、0 で、λ = μ のとき、Π_λ∈ΛG_λ から、それ自身への恒等写像とします。

では、直和とテンソル積を考えるときに、基本的な役割を果たす命題を証明します。

直和とテンソル :無限個の直和判定

【命題】

G_λ (λ ∈ Λ) と G を加法群とする。
また、各 λ ∈ Λ について、
f_λ : G → G_λ, h_λ : G_λ → G という加法群としての準同型写像は、次を満たすとする。

f_μ・h_λ = δ_λ,μ・1^G_λ,
Σ_λ∈Λ h_λf_λ = 1^G

ただし、各 x ∈ G について、h_λf_λ(λ) は有限個を除いて零元。

このとき、G と ⊕_λ∈ΛG_λ は加法群として同型である。

---

＜証明＞
ψ = Σ_λ∈Λ i_λ・f_λ 置きます。

各 x ∈ G について、h_λf_λ(x) が有限個を除いて零元です。そのため、有限個を除いて f_λ(x) が零元です。

もし、すべて λ について f_λ(x) が零元だとすると、
x, y ∈ G に対して、

ψ(x + y) = 0 = ψ(x) + ψ(y)

となり、ψ が準同型定理の定義を満たします。

そのため、有限個の λ について、

f_λ(x) ≠ 0 または f_λ(y) ≠ 0
または f_λ(x + y) ≠ 0 のいずれかとなっていたとして、準同型写像の定義を満たすことを確かめます。

これら有限個の λ をλ₁, … , λ_n として、右下の添え字 k が 1 から n まででシグマの値を確認します。

ψ(x + y) = (Σ_k i_λkf_λk)(x + y) =
Σ_k (i_λk・f_λk(x)+i_λk・f_λk(y)) =
Σ_k i_λk・f_λk(x)+Σ_k i_λk・f_λk(y) =
(Σ_k i_λk・f_λk)(x)+(Σ_k i_λk・f_λk)(y)
= ψ(x + y)

よって、ψ が加法群としての準同型写像であることが示せました。
※ G_λ たちが可換環 R の加群のときは、R-準同型写像ということが同様の議論で示せます。

各 λ ∈ Λ について、射影 p_λ との合成を考え、
φ = Σ_λ∈Λ h_λ・p_λ とします。

φ : ⊕_λ∈ΛG_λ → G です。

φψ という合成写像について、

Σ_λ,μ h_λ・p_λ・i_μ・f_μ =
Σ_λ,μ h_λ・(δ_λ,μ・1^G)・f_μ
= Σ_λ h_λf_λ = 1^G

※ 射影と入射の合成から、δ_λ,μ が途中で出るので、λ と μ が異なる項が全て 0 になります。λ と μ が一致している項だけが残るということを利用した変形です。

今度は、ψφ という合成写像も恒等写像となることを確かめます。

Σ_λ,μ i_λ・f_λ・h_μ・p_μ =
Σ_λ,μ i_λ・(δ_λ,μ1^G)・p_μ =
= Σ_λ i_λ・p_λ = 1^⊕_λG_λ

※ 今度は、f_λ と h_μ についての δ_λ,μ を利用しました。

これで、φψ と ψφ が、どちらも恒等写像になったので、ψ が全単射ということが示せました。

そのため、ψ が加法群としての同型写像です。【証明完了】

この【命題】で、G_λ たちが可換環 R の加群のときは、R-加群としての同型ということになります。

また、この【命題】は、逆も成立します。

G と ⊕_λ∈ΛG_λ が同型のとき、その同型写像を ψ とします。

f_λ = p_λψ, h_λ = ψ^-1i_λ と置けば、【命題】の条件を満たします。

それでは、いよいよテンソル積と直和についての定理を証明します。

証明した命題の添数集合として、次の【定理】では、Λ × Λ’ が添数集合となっています。

直和とテンソルの関係

【定理１】

R を乗法単位元をもつ可換環とする。
M_λ (λ ∈ Λ) を R-両側加群、
N_μ (μ ∈ Λ’) を R-両側加群とする。

このとき、

(⊕_λM_λ)⊗_R(⊕_μN_μ) と
⊕_(λ,μ)(M_λ⊗_RN_μ) は左R-加群として同型である。

---

＜証明＞
i_λ, p_λ をそれぞれ ⊕_λM_λ における入射と射影とします。

また、j_μ, q_μ をそれぞれ ⊕_μN_μ における入射と射影とします。

これらは、R-加群としての準同型写像となっています。

i_λ⊗j_μ は、M_λ⊗_RN_μ から
(⊕_λM_λ)⊗_R(⊕_μN_μ) への R-準同型写像です。

p_λ⊗q_μ は、(⊕_λM_λ)⊗_R(⊕_μN_μ) から
M_λ⊗_RN_μ への R-準同型写像です。

そして、
(p_λ’⊗q_μ’)・(i_λ⊗j_μ) =
(p_λ’・i_λ)⊗(q_μ’・j_μ) =
δ_{(λ,μ),(λ’,μ’)}・1^{M_λ⊗_RN_μ}

※ (λ, μ) = (λ, μ’) でないときは 0 ということです。

また、
Σ_(λ,μ) (i_λ⊗j_μ)(p_λ⊗q_μ) =
(Σ_λ i_λp_λ)⊗(Σ_μ j_μq_μ) =
1^⊕_λM_λ ⊗ 1^⊕_μN_μ = 1^{(⊕_λM_λ)⊗_R(⊕_μN_μ)}

よって、【命題】より、
(⊕_λM_λ)⊗_R(⊕_μN_μ) と
⊕_(λ,μ)(M_λ⊗_RN_μ) が R-加群として同型となります。【証明完了】

先ほどの【命題】を
(λ, μ) ∈ Λ × Λ’ を添数集合として、
M_λ⊗_RN_μ たちの直和と同型になっていることを示すのに使いました。

【命題】における G に当たるのが、
(⊕_λM_λ)⊗_R(⊕_μN_μ) です。

可換環 R について、自由加群の基底どおしのテンソルが基底になることを示すのに、後 1 つ【定理】を証明します。

直和とテンソル :基底と基底でテンソル

【定理２】

N を左R-加群、
R 自身を R-R-両側加群とする。
r ∈ R, x ∈ N に対して、
r⊗x に rx を対応させることにより、
R⊗_RN と N は 左R-加群として同型である。

---

＜証明＞
f : R × N → N を
f((r, x)) = rx (r∈R, x∈N) とします。

f はバランス写像なので、
テンソル積の普遍写像性質の定理から、
f* : R⊗_RN　→ N が、ただ一つ存在して、
f*(r⊗x) = f((r, x)) = rx

この f* は Z-準同型ですが、R-準同型となっていることを確かめます。

s ∈ R に対して、

f*(s(r⊗x)) = f*((sr)⊗x)
= (sr)x = s(rx) = sf*((r⊗x))

よって、f* は R-準同型写像です。

h : N → R⊗_RN を
x ∈ N に対して、h(x) = 1⊗x と定義します。

※ この 1 は R の乗法単位元です。

すると、
f*g = 1^N, gf* = 1^R⊗_RN

よって、f* は全単射でもあるので、
R⊗_RN と N が 左R-加群として同型となっています。【証明完了】

では、乗法単位元 1 をもつ可換環 R について、R-自由加群の基底どおしのテンソルが、基底になっていることを示します。

可換環 R なので、右作用は左作用、左作用は右作用の定義です。

確かに基底

【定理３】

R を乗法単位元をもつ可換環とする。

M を R-R-両側加群とし、
{a_λ}_λ∈Λ を M の基底とする。

また、N を R-R-両側加群とし、
{b_μ}_μ∈Λ’ を N の基底とする。

このとき、{a_λ⊗b_μ | λ ∈ Λ, μ ∈ Λ’} が、
M⊗_RN の基底である。

---

＜証明＞
M = ⊕_λa_λR, N = ⊕_μRb_μ で、
a_λR は R と R-加群として同型です。

また、Rb_μ も R と R-加群として同型です。

【定理１】より、M⊗_RN は、
⊕_(λ,μ)(a_λR⊗_RRb_μ) と R-加群として同型です。

よって、
M⊗_RN = ⊕_(λ,μ) R(a_λ⊗b_μ)

ここで、
R(a_λ⊗b_μ) は a_λR⊗_RRb_μ と R-同型です。

そして、a_λR が R と R-同型だったので、
a_λR⊗_RRb_μ は R⊗_RRb_μ と R-同型です。

さらに、【定理２】より、
R⊗_RRb_μ は Rb_μ と R-同型です。

Rb_μ は R と R-同型だったので、
R(a_λ⊗b_μ) は R と R-同型です。

そのため、各 (λ, μ) ∈ Λ × Λ’ について、
直和因子 R(a_λ⊗b_μ) は零加群につぶれていません。

そのため、

{a_λ⊗b_μ | λ ∈ Λ, μ ∈ Λ’} が、M⊗_RN の基底です。【証明完了】

特に、【定理３】から次を得ます。

この記事で加群についての基礎的な内容を使いました。

加群の定義という記事で加群の基礎内容を解説しています。

ここからは、テンソル代数について述べておきます。

テンソル代数 :同型に注目

【定理４】

M, N を R 上の両側加群とする。

このとき、M⊗_RN と N⊗_RM が左R 加群として同型である。

---

＜証明＞

f : M × N → N⊗_RM を、
(x, y) ∈ M × N という直積集合の元に対して、
f((x, y)) = y⊗x と定義します。
　
これは、バランス写像となっています。

実際、
f(x₁+x₂, y) = y⊗(x₁+x₂)
= y⊗x₁ + y⊗x₂ = f(x₁, y) + f(x₂, y) というように、テンソル積の関係式から、バランス写像の定義を満たしていることが確認できます。

※ 他のバランス写像の定義は、同じ要領なので、省略します。

よって、普遍写像性質の定理から、
f* : M⊗_RN → N⊗_RM が存在して、
f*・π = f となります。

M⊗_RN の元は、
Σ_i x_i⊗y_i (x_i ∈ M, y_i ∈ N)という形の有限和です。

そして、π(x_i, y_i) = x_i⊗y_i なので、
f*(Σ_i x_i⊗y_i) = Σ_i f*(π((x_i, y_i))) =
Σ_i f((x_i, y_i)) = Σ_i y_i⊗x_i

※ この f* は、R からの左作用について、R-準同型写像になっていることも分かります。
※ 線形写像のテンソルという内容について、基底変換行列という記事で、R の作用を保存することについて、似たような証明をしています。

普遍写像性質の定理において、
N⊗_RM を考えたわけです。

今度は、普遍写像性質の定理のにおいて、
M⊗_RN を考えます。

g : N × M → M⊗_RN を、
(b, a) ∈ N × M に対して、

g(b, a) = a⊗b と定義します。
　
同じ要領で、
g* : N⊗_RM → M⊗_RN を得ます。

合成写像 f*・g* と g*・f* は、ともに恒等写像になっているので、f* の逆写像が g* ということになります。

よって、f* は全単射で、R-準同型写像だから、
M⊗_RN と N⊗_RM が R-同型です。【証明完了】

このように、普遍写像性質の定理を利用して、テンソル積を始集合とする写像を作ります。

三個の加群でテンソル積を考え、同型について考えるときも、普遍性の定理が有効です。

三個で考える

【定理５】

R を乗法単位元をもつ可換環とする。
また、A, B, C を R 上の両側加群とする。

このとき、
(A⊗_RB)⊗_RC と A⊗_R(B⊗_RC) は、R-加群として同型である。

---

＜証明＞

A, B が R-両側加群なので、
A × B も R-両側加群です。

f : (A × B) × C → (A × B)⊗_RC を
((a, b), c) ∈ (A × B) × C に対して、
f(((a, b), c)) = (a, b)⊗c と定義します。

テンソル積の関係式から、f がバランス写像となっていることを確認します。

(a, b), (x, y) ∈ A × B, c ∈ C に対して、
f(((a, b)+(x, y), c))
= ((a, b)+(x, y))⊗c
= (a, b)⊗c+(x, y)⊗c
= f(((a, b), c))+f(((x, y), c))

(a, b) ∈ A × B, c, d ∈ C に対して、
f(((a, b), c+d)) =
(a, b)⊗(c+d) =
(a, b)⊗c + (a, b)⊗d
= f(((a, b), c))+f(((a, b), d))

(a, b) ∈ A × B, r ∈ R, c ∈ C に対して、
(A × B)⊗_RC が R-両側加群なので、

f((r(a, b), c)) = (r(a, b))⊗c
= r((a, b)⊗c) = rf((a, b), c)

よって、加法群 G として、
(A × B)⊗_RC として普遍写像性質の定理を適用できます。

定理より、
f* : (A⊗_RB)⊗_RC → (A × B)⊗_RC という加法群としての準同型写像が、ただ一つ存在して、

f*((a⊗b)⊗c) = (a, b)⊗c となります。

(r(a, b))⊗c = r((a, b)⊗c) なので、f* は、R 上の加法群としての準同型写像となっています。

次に、(A × B) × C から (A × B) × C への恒等写像 g について、普遍写像性質の定理を適用させます。

すると、(A × B)⊗_RC から (A × B) × C への加法群としての準同型写像 g* が、ただ一つ存在して、g*((a, b)⊗c) = ((a, b), c)

さらに、
h : (A × B) × C → A × (B × C) を
h((a, b), c) = (a, (b, c)) と定義します。

a, x∈A, b, y∈B, c, z∈C に対して、
h(((a, b), c)+((x, y), c))
= h((a+x, b+y), 2c)
= (a+x, ((b+y), 2c))
= (a+x, (b, c)+(y, c))
= (a, (b, c))+(x, (y, c))
= h((a, b),c)+h((x, y), c)

また、
h(r((a, b), c)) = h(r(a, b), rc) =
h((ra, rb), rc) = (ra, (rb, rc)) =
r(a, (b, c)) = rh(a, (b, c))

これで、h が R-準同型写像であることが確認できました。

ここまでの要領で、普遍写像性質の定理を使って、
A × (B × C) → A⊗_R(B × C)、
A⊗_R(B × C) → A⊗_R(B⊗_RC) と R-準同型写像を定義します。
※ この部分は同じ要領なので、省略します。

そして、それらを合成した写像を
e : A × (B × C) → A⊗_R(B⊗_RC) を
e((a, (b, c))) = a⊗(b⊗c) とします。

これで、
(A⊗_RB)⊗_RC を始集合とする f* から、
A⊗_R(B⊗_RC) を終集合とする e までの合成写像を ψ とします。

e・h・g*・f* = ψ と置きます。

※ R-準同型写像たちを合成したものなので、ψ も R-準同型写像となっています。

(a⊗b)⊗c ∈(A⊗_RB)⊗_RC に対して、
ψ((a⊗b)⊗c) =
e・h・g*(f*(a⊗b⊗c)))
= e・h・g*((a, b)⊗c)
= e・h( ((a, b), c))
= e((a, (b, c))) = a⊗(b⊗c)

今度は、逆向きに、
A × (B × C) → A⊗_R(B × C) を
(a, (b, c)) → a⊗(b, c) と定義することから始めて、同じ要領で議論します。

すると、合成写像 φ で、

φ(a⊗(b⊗c)) = (a⊗b)⊗c を満たすものが得られます。

φψ と ψφ は、どちらも恒等写像なので、
ψ は全単射です。【証明完了】

A, B, C が可換環 R の両側加群になっているので、R からの作用が扱いやすいです。このことを次で見ておきます。

テンソル代数 :左右の作用を意識して有限個へ

右作用は左作用、左作用は右作用という状態です。

(a⊗b)⊗c ∈ (A⊗_RB)⊗_RC と r ∈ R に対して、

(a⊗b)⊗(cr) = (a⊗b)⊗(rc)
= r((a⊗b)⊗c)
= ((ar)⊗b)⊗c = ((ra)⊗b)⊗c
= (a⊗(br))⊗c = (a⊗(rb))⊗c

A⊗_R(B⊗_RC) についても、R からの作用が、同じ様になっています。

今、三個の R-両側加群についてのテンソル積の同型を示しました。

この【定理２】から、帰納的に、同じ両側加群を有限個でテンソル積をとったときに、同型ということが証明されます。

代数学の入門を学習するときに、半群について、三個で結合律が成立していると、一般の有限個数について、括弧のつけ方に関わらず値が一つに定まることを学習します。

【定理２】の同型から、
一般の結合律の証明と同じ要領で、帰納法によって、次が成立します。

---

R を乗法単位元をもつ可換環とする。
また、M を R 上の両側加群とする。
そして、M どおしで R 上 のテンソル積をとることを k 回（有限回）行うとする。

このとき、k 個の M の R 上のテンソル積は、括弧のつけ方に依らずに、どれも R 上の加群として同型である。

---

この証明は、一般の結合律の証明で、等しいということを同型と思うことで、同じ要領で証明できます。

(M⊗_RM)⊗_R(M⊗_RM) や
M⊗_R((M⊗_RM)⊗_RM) が R-同型となります。

【定理２】で、三個について R-同型が証明できているので、帰納法で、一般の有限個数について、括弧のつけ方に依らずに、全て同型になっていることが分かります。

そこで、次のような記号を導入します。

0 以上の非負整数 k に対して、
M^(k) を M を k 個で R 上のテンソル積をとったものとします。

ただし、M⁽⁰⁾ = R とします。

M⁽⁴⁾ だと、M⊗_RM⊗_RM⊗_RM と、M を 4 個でテンソル積をとったものです。

これら M^(k) たち全てで、外部直和を取ったものを T(M) と表します。

T(M) = ⊕_kT^(k) となります。

ここで、直和なので、各元は直和因子の元の有限個の和となっています。

有限和に注意

T(M) の元は、
Σ_i a_i (a_i ∈ T⁽ⁱ⁾) という形です。

有限個を除いて 0 という有限和なので、
ある非負整数 N が存在して、
i ≧ N のとき、a_i = 0 となっています。

この N の値は、T(M) の元それぞれに依ります。

よく見た目が無限級数のような形で表されますが、有限和なので、落ち着けます。

この T(M) はテンソル代数と言われるくらいで、積が定義されています。その積について、これから説明します。

テンソル代数の定義

s, t を非負整数とするとき、
M^(s) × M^(t) → M^(s+t) を次のように双線形に定義します。

(a₁⊗…⊗a_s, b₁⊗…⊗b_t) ∈ M^(s) × M^(t) に対して、
a₁⊗…⊗a_s⊗b₁⊗…⊗b_t ∈ T^(s+t) と対応させます。

この対応から、多項式の積の要領で、
次のようにして T(M) の積を定めます。

有限和ということから、k が ある値以上になると、c_k たちは 0 になります。

この M として、体 K 上のベクトル空間を考えることもありますし、様々なものが考えられています。一つ自由加群を使って、テンソル代数を構成してみます。

厳密に述べると、記号も複雑で長くなるので、大枠を述べることにします。

無限変数の多項式

Λ を無限集合とします。
そして、{x_λ}_λ∈Λ を基底とする R 上の自由加群を M とします。

M = ⊕_λ∈Λ Rx_λ となっています。
※ Rx_λ = {rx_λ | r ∈ R} という部分加群です。

X_λ を R[X_λ]_λ∈Λ という R 上の無限個の変数の多項式環の不定元とします。

このとき、x_λ に対して X_λ を対応させるということなので、T(M) から R[X_λ]_λ∈Λ への全射 R-加群準同型写像で、環準同型写像となっているものが定義されます。

この準同型写像は、R-代数としての準同型写像です。これを f とします。

f : T(M) → R[X_λ]_λ∈Λ は全射なので、準同型定理から、T(M)/ker f は、
R[X_λ]_λ∈Λ と R-代数として同型になります。

ここで、s, t ∈ Λ について、
x_s⊗x_t － x_t⊗x_s を f で移すと 0 になります。

ｔまり、
f(x_s⊗x_t － x_t⊗x_s)
= X_sX_t － X_tX_s
= X_sX_t － X_sX_t = 0

そのため、ker f は、
x_s⊗x_t － x_t⊗x_s ∈ M⁽²⁾ （s, t ∈ Λ）という形の元で生成される両側イデアルとなっています。

※ 多項式環の不定元xについては、このリンク先の記事で解説をしています。

これで、今回のブログ記事を終了します。

読んで頂き、ありがとうございました。