全単射 | 「fgが恒等写像かつgfが恒等写像」と同値であることの証明
f : S → T が" 全単射 “であることと同値な条件について証明をしています。
g : T→Sが存在して、「fg が恒等写像、かつ gf が恒等写像」となることが、同値な条件です。
f が全射の定義を満たし、かつ単射の定義を満たすことを直接に確認しにくいときのために、この同値な条件も押さえておくと良いかと思います。
全射と単射の定義を押さえて、なぜ同値となっているのかを理解しておくと、地に足がつくので、大学の数学を学習しやすくなります。
今回の記事の同値な書き換えですが、既に存在している写像を用いて、新しい写像を誘導するという発想に慣れるのに役立つ内容です。
全単射 :全射と単射の定義
【全射の定義】
S, T を空でない集合とし、
f : S → T を S から T への写像（関数）とする。
このとき、「どんな t ∈ T に対しても、
ある s ∈ S が存在し、f(s) = t」という条件を満たすとき、f は全射であるという。
（もしくは、S から T への上への写像）
終集合 T から、どんな元（要素）を取ってきても、行き先が t となる S の元 s が存在するということです。
次に単射の定義ですが、これについては、対偶を考えた方が示しやすいときもあるので、条件をまず述べておきます。
【単射である条件】
S, T を空でない集合とし、
f : S → T を S から T への写像とする。
また、a, b ∈ S とする。
このとき、
a ≠ b ならば f(a) ≠ f(b) である。
a ≠ b を満たす、どんな S の元 a と b についても、f(a) と f(b) は T において異なる元ということです。
f が、この条件を満たすと単射ということです。
論理記号を使った形で表すと、ちょっと複雑な感じがします。
一応、直積集合を使って、次のように「単射の条件」を表すことができます。
【単射の条件】
S, T を空でない集合とし、
f : S → T を S から T への写像とする。
直積集合 S × S = S2 の部分集合である
{(a, b) ∈ S2 | a ≠ b} を X と置く。
∀(a, b) ∈ X に対して、
f(a) ≠ f(b) が成り立てば、f は単射であるという。
この条件の否定を考えると、
「∃(a, b) ∈ X が存在して、
f(a) = f(b) となっていると、f は単射でない」ということです。
直積集合の記号を出すと、複雑な気がするので、論理記号を使わないで議論を進めることにします。
この「単射の条件」の対偶を考えることもあるので、それも述べておきます。
単射と対偶
【単射の条件’】
S, T を空でない集合とし、
f : S → T を S から T への写像とする。
また、a, b ∈ S とする。
このとき、f(a) = f(b) ならば a = b
先ほどの対偶ですが、T において f(a) と f(b) が等しければ、a と b が S において等しいということです。
対偶による他の言い方をすると、f(a) の値は、S の元 a によって、一意的に決まるということです。
そのため、a と b が異なる S の元だと、この一意性から、f(a) と f(b) の値が異なるということになります。
※ 一意ということについては、リンク先の記事の前半で解説をしています。
単射であることを確認するときには、T の方から考えた方が示しやすいときは、対偶の方で単射を確認します。
始集合の方から考えた方が示しやすいときは、はじめに述べた方で単射であることを確認します。
では、ここまでの定義を踏まえた上で、全射かつ単射という全単射であることの必要十分条件を示します。
※ 必要十分条件についての高校数学での基礎的なことは、リンク先の記事で解説をしています。
その前に、恒等写像についての定義も確認しておきます。
全単射 :全単射である十分条件
S を空でない集合とします。
そして、idS : S → S が、
どんな a ∈ S に対しても、
idS(a) = a となっていたとします。
この idS を、S 上の恒等写像といいます。
S のどんな元 a についても、idS が対応させる値は、a 自身という対応です。
この恒等写像の具体例は、
実数全体 R から R への写像 f で、
f(x) = x (x ∈ R) という正比例を表す一次関数です。
他にも、様々な集合について恒等写像が、大学の数学では出てきます。今回の記事で示そうとしている必要十分条件に、恒等写像が使われています。
それでは、まず十分条件から示します。
十分性の確認
【定理１】
S, T を空でない集合とし、
f : S → T を S から T への写像とする。
そして、g : T → S が存在し、
合成写像 fg が S 上の恒等写像であり、かつ gf が T 上の恒等写像となっていたとする。
このとき、f は全射かつ単射である。
＜証明＞
fg = idS, gf = idT とします。
まず、f が全射であることを証明します。
t ∈ T を任意に取ります。
T から S への写像 g の存在が仮定されているので、この g で t を移します。
すると、g(t) ∈ S
g(t) は S の元なので、f で移すことができます。
f(g(t)) = fg(t) ∈ T です。
f(g(t)) は、合成写像 fg で t を移したときの値です。
ここで、仮定より、fg は T 上の恒等写像なので、fg(t) = idT(t) = t です。
つまり、f(g(t)) = t ∈ T
これは、g(t) という S の元を f で移すと t になるということなので、f が全射であることの定義を満たしました。
次に、f が単射であることを示します。
f(a) = f(b) (a, b ∈ S) となっていたとします。
すると、f(a) = f(b) は T の元なので、g で移すことができ、g(f(a)) = g(f(b))
これは、合成写像 gf で移した値なので、
gf(a) = gf(b) となっています。
仮定から、gf は S 上の恒等写像だったので、
idS(a) = idS(b) です。
すなわち、a = b
これで、f が単射であることを確認できました。（対偶の方を確認しました）【証明完了】
ここから、逆も成立することを示し、必要十分条件ということを示したいところです。
その前に、既に与えられた写像から、新しい写像を誘導するという観点で、逆写像（逆関数）について、触れておきます。
全単射 :逆写像の考察
全単射 f : S → T が与えらえたとき、次のようにして、T から S への写像を誘導することができます。
（T から S への写像が引き起こされるなどともいいます）
写像を定義するためには、始集合の各元に対して、行き先となる対応する値を定義します。
各 t ∈ T に対して、g(t) という S の元を定義できると、S から T への写像 g が定義されたことになります。
ここで、f が全単射であることを利用します。
t ∈ T について、f が全射であることから、
ある s が存在し、f(s) = t となります。
t が単射なので、f で移したときに、値が t となる S の元は、s ただ一つです。
そのため、t ∈ T に対して、g(t) = s と定義できます。
f(s) = t を満たす s ∈ S が、ただ一つなので、g は、ちゃんと一対一対応となっています。
これで、g : T → S が定義できたのですが、先ほど証明した【定理１】から、g は全単射となっています。
【定理１】を適用させるために、【定理１】の条件を確認します。
a ∈ S とすると、f(a) ∈ T です。
この f(a) という T の元について、f で移すと f(a) となる S の元が a であることから、
g の定義より、g(f(a)) = a
よって、
合成写像について、gf(a) = a
したがって、gf = idS
また、b ∈ T とすると、f が全単射なので、
S の元 x が、ただ一つ存在し、f(x) = b
ここで、g の定義から、g(b) = x
これを f で移すと、f(g(b)) = f(x) = b
よって、合成写像について、
fg(b) = b なので、fg = idT
以上より、【定理１】から、
g は全単射ということが示せました。
この g が、f の逆写像です。
これで、全単射 f : S → T が与えられたとき、f の逆写像である T から S への写像が定義できるということを示せました。
今、示した内容ことが、全単射の必要条件です。定理として、まとめておきます。本質は示しましたが、証明もつけておきます。
全単射である必要条件
【定理２】
S, T を空でない集合とし、
f : S → T を S から T への写像とする。
そして、f が全単射であるとする。
このとき、g : T → S が存在し、
合成写像 fg が S 上の恒等写像であり、かつ gf が T 上の恒等写像となっている。
＜証明＞
全単射 f : S → T が与えられているので、先ほどの考察から、f の逆写像 g が定義できます。
この g について、
fg = idS, gf = idT となっています。【証明完了】
もう証明の本質部分は述べていましたが、証明の骨格を示すために、証明をつけました。
これで、全単射であることの必要十分条件が示せました。
この内容は、大学の数学で、全単射であることを示すために、たびたび使われます。
加群のテンソル積の内容を扱うときなど、直接に全射や単射の定義を確認するのが困難なときに、役だったりします。
最後に、示した全単射の必要十分条件を、高校の数学内容に使ってみます。
具体例で確認
実数全体を R とし、R から R への写像 f を、
f(x) = 3x (x ∈ R) とします。
この f が、全単射であることを示します。
g : R → R を、
a ∈ R に対して、
g(a) = 1/3 × a と定義します。
（この × は通常の実数の乗法です）
x ∈ R に対して、
fg(x) = f(g(x)) = 3 × (1/3 × x)
= (3 × 1/3) × x = x
よって、fg = idR
同様に、gf(x) = 1/3 × (3x) = x
よって、gf = idR
ゆえに、【定理１】から、
f は R から R への全単射です。
関連する記事として、写像による像と逆像という記事を投稿しています。
次の記事は、線形代数に関わる写像の内容です。
実数列全体は実数体上の無限次元のベクトル空間（線形代数）という内容になります。
これで、今回のブログ記事を終了します。
読んで頂き、ありがとうございました。