全単射 | 「fgが恒等写像かつgfが恒等写像」と同値であることの証明

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f : S → T が" 全単射 “であることと同値な条件について証明をしています。

g : T→Sが存在して、「fg が恒等写像、かつ gf が恒等写像」となることが、同値な条件です。

f が全射の定義を満たし、かつ単射の定義を満たすことを直接に確認しにくいときのために、この同値な条件も押さえておくと良いかと思います。

全射と単射の定義を押さえて、なぜ同値となっているのかを理解しておくと、地に足がつくので、大学の数学を学習しやすくなります。

今回の記事の同値な書き換えですが、既に存在している写像を用いて、新しい写像を誘導するという発想に慣れるのに役立つ内容です。

全単射 :全射と単射の定義

【全射の定義】

S, T を空でない集合とし、
f : S → T を S から T への写像(関数)とする。

このとき、「どんな t ∈ T に対しても、
ある s ∈ S が存在し、f(s) = t」という条件を満たすとき、f は全射であるという。
(もしくは、S から T への上への写像)


終集合 T から、どんな元(要素)を取ってきても、行き先が t となる S の元 s が存在するということです。

次に単射の定義ですが、これについては、対偶を考えた方が示しやすいときもあるので、条件をまず述べておきます。

【単射である条件】

S, T を空でない集合とし、
f : S → T を S から T への写像とする。
また、a, b ∈ S とする。

このとき、
a ≠ b ならば f(a) ≠ f(b) である。

a ≠ b を満たす、どんな S の元 a と b についても、f(a) と f(b) は T において異なる元ということです。

f が、この条件を満たすと単射ということです。

論理記号を使った形で表すと、ちょっと複雑な感じがします。

一応、直積集合を使って、次のように「単射の条件」を表すことができます。


【単射の条件】

S, T を空でない集合とし、
f : S → T を S から T への写像とする。

直積集合 S × S = S2 の部分集合である
{(a, b) ∈ S2 | a ≠ b} を X と置く。

∀(a, b) ∈ X に対して、
f(a) ≠ f(b) が成り立てば、f は単射であるという。


この条件の否定を考えると、
「∃(a, b) ∈ X が存在して、
f(a) = f(b) となっていると、f は単射でない」ということです。

直積集合の記号を出すと、複雑な気がするので、論理記号を使わないで議論を進めることにします。

この「単射の条件」の対偶を考えることもあるので、それも述べておきます。

単射と対偶

【単射の条件’】

S, T を空でない集合とし、
f : S → T を S から T への写像とする。
また、a, b ∈ S とする。

このとき、f(a) = f(b) ならば a = b


先ほどの対偶ですが、T において f(a) と f(b) が等しければ、a と b が S において等しいということです。

対偶による他の言い方をすると、f(a) の値は、S の元 a によって、一意的に決まるということです。

そのため、a と b が異なる S の元だと、この一意性から、f(a) と f(b) の値が異なるということになります。
※ 一意ということについては、リンク先の記事の前半で解説をしています。

単射であることを確認するときには、T の方から考えた方が示しやすいときは、対偶の方で単射を確認します。

始集合の方から考えた方が示しやすいときは、はじめに述べた方で単射であることを確認します。

では、ここまでの定義を踏まえた上で、全射かつ単射という全単射であることの必要十分条件を示します。

必要十分条件についての高校数学での基礎的なことは、リンク先の記事で解説をしています。

その前に、恒等写像についての定義も確認しておきます。

全単射 :全単射である十分条件

S を空でない集合とします。
そして、idS : S → S が、
どんな a ∈ S に対しても、
idS(a) = a となっていたとします。

この idS を、S 上の恒等写像といいます。

S のどんな元 a についても、idS が対応させる値は、a 自身という対応です。

この恒等写像の具体例は、
実数全体 R から R への写像 f で、
f(x) = x (x ∈ R) という正比例を表す一次関数です。

他にも、様々な集合について恒等写像が、大学の数学では出てきます。今回の記事で示そうとしている必要十分条件に、恒等写像が使われています。

それでは、まず十分条件から示します。

十分性の確認

【定理1】

S, T を空でない集合とし、
f : S → T を S から T への写像とする。

そして、g : T → S が存在し、
合成写像 fg が S 上の恒等写像であり、かつ gf が T 上の恒等写像となっていたとする。

このとき、f は全射かつ単射である。


<証明>
fg = idS, gf = idT とします。

まず、f が全射であることを証明します。

t ∈ T を任意に取ります。

T から S への写像 g の存在が仮定されているので、この g で t を移します。
すると、g(t) ∈ S

g(t) は S の元なので、f で移すことができます。

f(g(t)) = fg(t) ∈ T です。

f(g(t)) は、合成写像 fg で t を移したときの値です。

ここで、仮定より、fg は T 上の恒等写像なので、fg(t) = idT(t) = t です。

つまり、f(g(t)) = t ∈ T

これは、g(t) という S の元を f で移すと t になるということなので、f が全射であることの定義を満たしました。

次に、f が単射であることを示します。

f(a) = f(b) (a, b ∈ S) となっていたとします。

すると、f(a) = f(b) は T の元なので、g で移すことができ、g(f(a)) = g(f(b))

これは、合成写像 gf で移した値なので、

gf(a) = gf(b) となっています。

仮定から、gf は S 上の恒等写像だったので、

idS(a) = idS(b) です。

すなわち、a = b

これで、f が単射であることを確認できました。(対偶の方を確認しました)【証明完了】

ここから、逆も成立することを示し、必要十分条件ということを示したいところです。

その前に、既に与えられた写像から、新しい写像を誘導するという観点で、逆写像(逆関数)について、触れておきます。

全単射 :逆写像の考察

全単射-逆写像の定義

全単射 f : S → T が与えらえたとき、次のようにして、T から S への写像を誘導することができます。
(T から S への写像が引き起こされるなどともいいます)

写像を定義するためには、始集合の各元に対して、行き先となる対応する値を定義します。

各 t ∈ T に対して、g(t) という S の元を定義できると、S から T への写像 g が定義されたことになります。

ここで、f が全単射であることを利用します。

t ∈ T について、f が全射であることから、
ある s が存在し、f(s) = t となります。

t が単射なので、f で移したときに、値が t となる S の元は、s ただ一つです。

そのため、t ∈ T に対して、g(t) = s と定義できます。

f(s) = t を満たす s ∈ S が、ただ一つなので、g は、ちゃんと一対一対応となっています。

これで、g : T → S が定義できたのですが、先ほど証明した【定理1】から、g は全単射となっています。

【定理1】を適用させるために、【定理1】の条件を確認します。

a ∈ S とすると、f(a) ∈ T です。

この f(a) という T の元について、f で移すと f(a) となる S の元が a であることから、
g の定義より、g(f(a)) = a

よって、
合成写像について、gf(a) = a

したがって、gf = idS

また、b ∈ T とすると、f が全単射なので、
S の元 x が、ただ一つ存在し、f(x) = b

ここで、g の定義から、g(b) = x

これを f で移すと、f(g(b)) = f(x) = b

よって、合成写像について、
fg(b) = b なので、fg = idT

以上より、【定理1】から、
g は全単射ということが示せました。

この g が、f の逆写像です。

これで、全単射 f : S → T が与えられたとき、f の逆写像である T から S への写像が定義できるということを示せました。

今、示した内容ことが、全単射の必要条件です。定理として、まとめておきます。本質は示しましたが、証明もつけておきます。

全単射である必要条件

【定理2】

S, T を空でない集合とし、
f : S → T を S から T への写像とする。

そして、f が全単射であるとする。

このとき、g : T → S が存在し、
合成写像 fg が S 上の恒等写像であり、かつ gf が T 上の恒等写像となっている。


<証明>
全単射 f : S → T が与えられているので、先ほどの考察から、f の逆写像 g が定義できます。

この g について、

fg = idS, gf = idT となっています。【証明完了】

もう証明の本質部分は述べていましたが、証明の骨格を示すために、証明をつけました。

これで、全単射であることの必要十分条件が示せました。

この内容は、大学の数学で、全単射であることを示すために、たびたび使われます。

加群のテンソル積の内容を扱うときなど、直接に全射や単射の定義を確認するのが困難なときに、役だったりします。

示した全単射の必要十分条件を、高校の数学内容に使ってみます。

具体例で確認

実数全体を R とし、R から R への写像 f を、
f(x) = 3x (x ∈ R) とします。

この f が、全単射であることを示します。

g : R → R を、
a ∈ R に対して、

g(a) = a/3 と定義します。

x ∈ R に対して、
fg(x) = f(g(x))
= 3 × (x/3) = x

よって、fg = idR

同様に、gf(x) = (3x)/3 = x

よって、gf = idR

ゆえに、【定理1】から、
f は R から R への全単射です。

ここからは、写像による像と逆像について述べます。

写像による像

像と逆像の定義】

S と T を空でない集合とする。

f : S → T という写像と、S の部分集合 X について、{f(x) | x ∈ X} を X の f による像といい、f(X) と表す。

すなわち、a ∈ f(X) とすると、ある x ∈ X が存在して、f(x) = a となる。

また、T の部分集合 Y について、
{x ∈ S | f(x) ∈ Y} を Y の f による逆像(原像)といい、f-1(Y) と表す。

すなわち、任意の b ∈ f-1(Y) に対し、
f(b) ∈ Y である。


f(X) は、f について、定義域の部分集合 X に含まれている元に対応するものを全て集めた集合です。

そのため、f の値域の部分集合となっています。

X が定義域 S そのもののときは、f(S) は f の値域です。

そして、
定義域に含まれている元で、f で移すと必ず Y に含まれるものたちを全て集めたものが、f-1(Y) です。

そのため、f-1(Y) は、定義域 X の部分集合となっています。


【例題】

写像 f : S → T について、
S の部分集合 A, B について次が成立します。

(1) f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B)

(2) f(A ∩ B) ⊂ f(A) ∩ f(B)


これらを証明します。

例題(1)の証明

f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B) を証明します。

任意の a ∈ f(A ∪ B) を取ります。

像の定義から、
ある x ∈ A ∪ B が存在して、a = f(x)

和集合の定義より、
x ∈ A または x ∈ B

x ∈ A の場合、像の定義から、f(x) は f(A) の元なので、a = f(x) ∈ f(A)

x ∈ B の場合、像の定義から、f(x) は f(B) の元なので、a = f(x) ∈ f(B)

よって、起こり得るすべての場合について、
a ∈ f(A) ∪ f(B)

したがって、部分集合の定義から、
f(A ∪ B) ⊂ f(A) ∪ f(B) … (あ)

逆に、任意の b ∈ f(A) ∪ f(B) を取ります。

和集合の定義から、

b ∈ f(A) または b ∈ f(B)

b ∈ f(A) の場合、像の定義から、
ある t ∈ A が存在して、
b = f(t) ∈ f(A)

ここで、A ⊂ A ∪ B より、
f(A) ⊂ f(A ∪ B) となっているので、
b = f(t) ∈ f(A ∪ B)

b ∈ f(B) の場合、像の定義から、
ある s ∈ B が存在して、
b = f(t) ∈ f(B)

B ⊂ A ∪ B だから、同様に、
b = f(t) ∈ f(A ∪ B)

よって、いずれの場合にせよ、
b ∈ f(A ∪ B) となっています。

部分集合の定義から、
f(A) ∪ f(B) ⊂ f(A ∪ B) … (い)

(あ), (い) より、二つの集合が等しいことの定義から、f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B)【証明完了】

部分集合の定義と、二つの集合が等しいということの定義も使いました。

集合 K1 が集合 K2 の部分集合であることの定義は、
任意の x ∈ K1 に対して、x ∈ K2 となることです。

K1 ⊂ K2 かつ K2 ⊂ K1 となることが、
K1 = K2 の定義です。

では、例題のもう1つの方も示します。

例題(2)の証明

f(A ∩ B) ⊂ f(A) ∩ f(B) を示します。

任意の x ∈ f(A ∩ B) に対し、像の定義から、
ある t ∈ A ∩ B が存在し、x = f(t)

t ∈ A ∩ B ⊂ A なので、
x = f(t) ∈ f(A)

さらに、t ∈ A ∩ B ⊂ B なので、
x = f(t) ∈ f(B)

よって、x = f(t) ∈ f(A) ∩ f(B)

部分集合の定義から、
f(A ∩ B) ⊂ f(A) ∩ f(B)【証明完了】

今、f(A ∩ B) ⊂ f(A) ∩ f(B) を示しました。

これについては、等号が成立するとは限りません。等号が成立しない例を示しておきます。

A = {0, 1}, B = {0, -1} とし、
f(x) = 3x2 という二次関数を考えます。

A ∩ B = {0} なので、f(A ∩ B) = {0}

一方、f(A) = {0, 3}, f(B) = {0, 3} なので、
f(A) ∩ f(B) = {0, 3}

よって、f(A ∩ B) ≠ f(A) ∩ f(B) です。

写像による逆像

【例題】

写像 f : S → T について、T の部分集合 C, D について次が成立します。

(3) f-1(C∪D)=f-1(C)∪f-1(D)
(4) f-1(C∩D) = f-1(C)∩f-1(D)


<(3)の証明>

任意に a ∈ f-1(C∪D) を取ります。

この a ∈ S の f による像は、
f(a) ∈ C ∪ D

和集合の定義より、
f(a) ∈ C または f(a) ∈ D

f(a) ∈ C の場合、a ∈ S は f(a) ∈ C となっているので、C の f による逆像の定義を満たし、
a ∈ f-1(C) です。

f(a) ∈ D の場合、
同様に、a ∈ f-1(D)

よって、起こり得るすべての場合について、
a ∈ f-1(C)∪f-1(D)

部分集合の定義から、
f-1(C ∪ D) ⊂ f-1(C) ∪ f-1(D) … (う)

次に、任意の b ∈ f-1(C)∪f-1(D) を取ります。

和集合の定義から、
b ∈ f-1(C) または b ∈ f-1(D)

b ∈ f-1(C) の場合、
f(b) ∈ C ⊂ C ∪ D なので、b ∈ S について、f-1(C ∪ D) の定義から、
b ∈ f-1(C ∪ D) となります。

b ∈ f-1(D) の場合についても、
f(b) ∈ D ⊂ C ∪ D なので、
f-1(C ∪ D) の定義から、
b ∈ f-1(C ∪ D) です。

よって、いずれの場合についても、
b ∈ f-1(C ∪ D) となっています。

すなわち、
f-1(C) ∪ f-1(D) ⊂ f-1(C ∪ D) … (え)

(う), (え) より、
f-1(C ∪ D) = f-1(C) ∪ f-1(D)【証明完了】

(4)の証明

f-1(C∩D) = f-1(C)∩f-1(D) を証明します。

任意に a ∈ f-1(C∩D) を取ります。

a ∈ S について、
f-1(C∩D) の定義から、f(a) ∈ C ∩ D

共通部分の定義から、
f(a) ∈ C かつ f(a) ∈ D

a ∈ S は f(a) ∈ C だから、a は f-1(C) に含まれています。

さらに、f(a) は D にも含まれているので、a は f-1(D) にも含まれていることになります。

よって、共通部分の定義から、
a ∈ f-1(C) ∩ f-1(D)

つまり、
f-1(C ∩ D) ⊂ f-1(C) ∩ f-1(D) … (お)

また、任意の b ∈ f-1(C)∩f-1(D) を取ります。

共通部分の定義から、
b ∈ f-1(C) かつ b ∈ f-1(D)

よって、
f(b) ∈ C かつ f(b) ∈ D

共通部分の定義より、
f(b) ∈ C ∩ D

b ∈ S は、f(b) ∈ C ∩ D となっているので、逆像の定義から、b ∈ f-1(C ∩ D)

したがって、
f-1(C) ∩ f-1(D) ⊂ f-1(C ∩ D) … (か)

(お), (か) より、
f-1(C ∩ D) = f-1(C) ∩ f-1(D)【証明完了】


【関連する記事】

線形代数と写像の内容で、
実数列全体は実数体上の無限次元ベクトル空間という内容になります。


これで、今回のブログ記事を終了します。

読んで頂き、ありがとうございました。