ユニバーサリティ – 双線形乗法 | 普遍性からダイレクトサムと基について

2023年4月19日

" ユニバーサリティ – 双線形乗法 “について、基底と合わせて押さえておくと、加群の学習のためになります。

可換環R上の加群の基底どおしでテンソルをとると、テンソル積の基底となることを証明します。

事実として結果を知っていることも大切ですし、理論の証明で使われる考え方は、その後の学習の基礎になります。

加法群の直和（ダイレクトサム）から議論を始めます。

まず、加法群の直和について、必要な命題を証明します。

この命題によって、直和とテンソル積についての同型対応が得られます。

ユニバーサリティ – 双線形乗法 ;準備で加法群の直和

各 G_λ (λ∈Λ) たちを加法群とします。
このとき、加法群たちの直積群の定義から押さえます。

Π_λ∈ΛG_λ という直積集合の元は、
Λ から ∪_λ∈ΛG_λ という和集合への写像全体です。

各 λ ∈ Λ に対して、G_λ の単位元 0_λ を対応させることができます。そのため、選択公理を使わなくても、直積集合が空でないということになります。

Π_λ∈ΛG_λ の元を (a_λ)_λ∈Λ と表します。

各 λ ∈ Λ に対して、G_λ の元 a_λ を対応させる写像ということを表しています。

そして、(a_λ)_λ∈Λ について、a_λ を λ 成分の値と呼ぶことにします。

(a_λ)_λ∈Λ, (b_λ)_λ∈Λ という直積集合の元に対して、和を次のように定義します。

各 λ ∈ Λ に対して、a_λ + b_λ を λ 成分の値とする写像である (a_λ + b_λ)_λ∈Λ が、(a_λ)_λ∈Λ と (b_λ)_λ∈Λ の和です。
※ a_λ + b_λ は G_λ において既に定義されている加法です。

これで、Π_λ∈ΛG_λ は外部直積群となります。

この直積群の元で、有限個の λ を除いて a_λ が G_λ の単位元となっているものをすべて集めた部分集合を考えます。

その部分集合を ⊕_λ∈ΛG_λ と表します。

⊕_λ∈ΛG_λ は Π_λ∈ΛG_λ における加法について、部分群となっています。

この加法群 ⊕_λ∈ΛG_λ を、
G_λ (λ∈Λ) の外部直和といいます。

各 G_λ (λ∈Λ) たちが、加法群 H の部分群で、それぞれが H の内部直和因子となっているときは、G_λ (λ∈Λ) の外部直和と加法群として同型になっています。

射影と入射

記号ですが、1^G_λ は G_λ から G_λ への恒等写像のことです。1^G だと、G から G への恒等写像です。

また、(a_λ)_λ∈Λ ∈ Π_λ∈ΛG_λ が、どの λ ∈ Λ に対しても、a_λ = 0_λ となっているときに、単に 0 と表すことにします。

この 0 が Π_λ∈ΛG_λ の加法群としての単位元です。

ここで、各 λ ∈ Λ に対して、
p_λ : Π_λ∈ΛG_λ → G_λ を

p_λ((a_μ)_μ∈Λ) = a_λ と定義します。

λ 成分への射影といいます。
※ G_λ が R-加群のときは、R-準同型写像となっています。

i_λ : G_λ → Π_λ∈ΛG_λ を

i_λ(a_λ) = (b_μ)_μ∈Λ とし、λ = μ のとき、b_μ = a_λ,
λ ≠ μ のときは、b_μ = 0_μ（G_μ の単位元）と定義します。

これを λ 成分からの入射といいます。

※ λ 成分以外のすべての成分が零元となっている直積の元を対応させるというものです。

合成写像を考えると、p_λ・i_λ = 1^G_λ です。

λ ≠ μ のとき、p_μ・i_λ = 0

もう一つ記号ですが、δ_λ,μ は λ ≠ μ のとき、0 で、λ = μ のとき、Π_λ∈ΛG_λ から、それ自身への恒等写像とします。

では、直和とテンソル積を考えるときに、基本的な役割を果たす命題を証明します。

ユニバーサリティ – 双線形乗法 ;無限個の直和判定

【命題】

G_λ (λ ∈ Λ) と G を加法群とする。
また、各 λ ∈ Λ について、
f_λ : G → G_λ, h_λ : G_λ → G という加法群としての準同型写像は、次を満たすとする。

f_μ・h_λ = δ_λ,μ・1^G_λ,
Σ_λ∈Λ h_λf_λ = 1^G

ただし、各 x ∈ G について、h_λf_λ(λ) は有限個を除いて零元。

このとき、G と ⊕_λ∈ΛG_λ は加法群として同型である。

＜証明＞
ψ = Σ_λ∈Λ i_λ・f_λ 置きます。

各 x ∈ G について、h_λf_λ(x) が有限個を除いて零元です。そのため、有限個を除いて f_λ(x) が零元です。

もし、すべて λ について f_λ(x) が零元だとすると、
x, y ∈ G に対して、

ψ(x + y) = 0 = ψ(x) + ψ(y)

となり、ψ が準同型定理の定義を満たします。

そのため、有限個の λ について、

f_λ(x) ≠ 0 または f_λ(y) ≠ 0
または f_λ(x + y) ≠ 0 のいずれかとなっていたとして、準同型写像の定義を満たすことを確かめます。

これら有限個の λ をλ₁, … , λ_n として、右下の添え字 k が 1 から n まででシグマの値を確認します。

ψ(x + y) = (Σ_k i_λkf_λk)(x + y) =
Σ_k (i_λk・f_λk(x)+i_λk・f_λk(y)) =
Σ_k i_λk・f_λk(x)+Σ_k i_λk・f_λk(y) =
(Σ_k i_λk・f_λk)(x)+(Σ_k i_λk・f_λk)(y)
= ψ(x + y)

よって、ψ が加法群としての準同型写像であることが示せました。
※ G_λ たちが可換環 R の加群のときは、R-準同型写像ということが同様の議論で示せます。

各 λ ∈ Λ について、射影 p_λ との合成を考え、
φ = Σ_λ∈Λ h_λ・p_λ とします。

φ : ⊕_λ∈ΛG_λ → G です。

φψ という合成写像について、

Σ_λ,μ h_λ・p_λ・i_μ・f_μ =
Σ_λ,μ h_λ・(δ_λ,μ・1^G)・f_μ
= Σ_λ h_λf_λ = 1^G

※ 射影と入射の合成から、δ_λ,μ が途中で出るので、λ と μ が異なる項が全て 0 になります。λ と μ が一致している項だけが残るということを利用した変形です。

今度は、ψφ という合成写像も恒等写像となることを確かめます。

Σ_λ,μ i_λ・f_λ・h_μ・p_μ =
Σ_λ,μ i_λ・(δ_λ,μ1^G)・p_μ =
= Σ_λ i_λ・p_λ = 1^⊕_λG_λ

※ 今度は、f_λ と h_μ についての δ_λ,μ を利用しました。

これで、φψ と ψφ が、どちらも恒等写像になったので、ψ が全単射ということが示せました。

そのため、ψ が加法群としての同型写像です。【証明完了】

この【命題】で、G_λ たちが可換環 R の加群のときは、R-加群としての同型ということになります。

また、この【命題】は、逆も成立します。

G と ⊕_λ∈ΛG_λ が同型のとき、その同型写像を ψ とします。

f_λ = p_λψ, h_λ = ψ^-1i_λ と置けば、【命題】の条件を満たします。

それでは、いよいよテンソル積と直和についての定理を証明します。

証明した命題の添数集合として、次の【定理】では、Λ × Λ’ が添数集合です。

ダイレクトサムとテンソルの関係

【定理１】

R を乗法単位元をもつ可換環とする。
M_λ (λ ∈ Λ) を R-両側加群、
N_μ (μ ∈ Λ’) を R-両側加群とする。

このとき、

(⊕_λM_λ)⊗_R(⊕_μN_μ) と
⊕_(λ,μ)(M_λ⊗_RN_μ) は左R-加群として同型である。

＜証明＞
i_λ, p_λ をそれぞれ ⊕_λM_λ における入射と射影とします。

また、j_μ, q_μ をそれぞれ ⊕_μN_μ における入射と射影とします。

これらは、R-加群としての準同型写像となっています。

i_λ⊗j_μ は、M_λ⊗_RN_μ から
(⊕_λM_λ)⊗_R(⊕_μN_μ) への R-準同型写像です。

p_λ⊗q_μ は、(⊕_λM_λ)⊗_R(⊕_μN_μ) から
M_λ⊗_RN_μ への R-準同型写像です。

そして、
(p_λ’⊗q_μ’)・(i_λ⊗j_μ) =
(p_λ’・i_λ)⊗(q_μ’・j_μ) =
δ_{(λ,μ),(λ’,μ’)}・1^{M_λ⊗_RN_μ}

※ (λ, μ) = (λ, μ’) でないときは 0 ということです。

また、
Σ_(λ,μ) (i_λ⊗j_μ)(p_λ⊗q_μ) =
(Σ_λ i_λp_λ)⊗(Σ_μ j_μq_μ) =
1^⊕_λM_λ ⊗ 1^⊕_μN_μ = 1^{(⊕_λM_λ)⊗_R(⊕_μN_μ)}

よって、【命題】より、
(⊕_λM_λ)⊗_R(⊕_μN_μ) と
⊕_(λ,μ)(M_λ⊗_RN_μ) が R-加群として同型となります。【証明完了】

先ほどの【命題】を
(λ, μ) ∈ Λ × Λ’ を添数集合として、
M_λ⊗_RN_μ たちの直和と同型になっていることを示すのに使いました。

【命題】における G に当たるのが、
(⊕_λM_λ)⊗_R(⊕_μN_μ) です。

可換環 R について、自由加群の基底どおしのテンソルが基底になることを示すのに、後 1 つ【定理】を証明します。

ユニバーサリティ – 双線形乗法 :基底と基底でテンソル

【定理２】

N を左R-加群、
R 自身を R-R-両側加群とする。
r ∈ R, x ∈ N に対して、
r⊗x に rx を対応させることにより、
R⊗_RN と N は 左R-加群として同型である。

＜証明＞
f : R × N → N を
f((r, x)) = rx (r∈R, x∈N) とします。

f はバランス写像なので、
テンソル積のユニバーサリティ（普遍写像性質）の定理から、
f* : R⊗_RN　→ N が、ただ一つ存在して、
f*(r⊗x) = f((r, x)) = rx

この f* は Z-準同型ですが、R-準同型となっていることを確かめます。

s ∈ R に対して、

f*(s(r⊗x)) = f*((sr)⊗x)
= (sr)x = s(rx) = sf*((r⊗x))

よって、f* は R-準同型写像です。

h : N → R⊗_RN を
x ∈ N に対して、h(x) = 1⊗x と定義します。

※ この 1 は R の乗法単位元です。

すると、
f*g = 1^N, gf* = 1^R⊗_RN

よって、f* は全単射でもあるので、
R⊗_RN と N が 左R-加群として同型となっています。【証明完了】

では、乗法単位元 1 をもつ可換環 R について、R-自由加群の基底どおしのテンソルが、基底になっていることを示します。

可換環 R なので、右作用は左作用、左作用は右作用の定義です。

確かに基底

【定理３】

R を乗法単位元をもつ可換環とする。

M を R-R-両側加群とし、
{a_λ}_λ∈Λ を M の基底とする。

また、N を R-R-両側加群とし、
{b_μ}_μ∈Λ’ を N の基底とする。

このとき、{a_λ⊗b_μ | λ ∈ Λ, μ ∈ Λ’} が、
M⊗_RN の基底である。

＜証明＞
M = ⊕_λa_λR, N = ⊕_μRb_μ で、
a_λR は R と R-加群として同型です。

また、Rb_μ も R と R-加群として同型です。

【定理１】より、M⊗_RN は、
⊕_(λ,μ)(a_λR⊗_RRb_μ) と R-加群として同型です。

よって、
M⊗_RN = ⊕_(λ,μ) R(a_λ⊗b_μ)

ここで、
R(a_λ⊗b_μ) は a_λR⊗_RRb_μ と R-同型です。

そして、a_λR が R と R-同型だったので、
a_λR⊗_RRb_μ は R⊗_RRb_μ と R-同型です。

さらに、【定理２】より、
R⊗_RRb_μ は Rb_μ と R-同型です。

Rb_μ は R と R-同型だったので、
R(a_λ⊗b_μ) は R と R-同型です。

そのため、各 (λ, μ) ∈ Λ × Λ’ について、
直和因子 R(a_λ⊗b_μ) は零加群につぶれていません。

そのため、

{a_λ⊗b_μ | λ ∈ Λ, μ ∈ Λ’} が、M⊗_RN の基底です。【証明完了】

特に、【定理３】から次を得ます。

この記事で加群についての基礎的な内容を使いました。

加群の定義という記事で加群の基礎内容を解説しています。

基底に関連する記事として、多項式環の不定元xという記事を投稿しています。

これで、今回のブログ記事を終了します。

読んで頂き、ありがとうございました。