確率変数の独立 | 積についてE(XY)、和についてV(X+Y)の公式が独立だからこそ成立
" 確率変数の独立 “について、積に関しては、
E(XY) = E(X)E(Y) が成立します。
和に関しては、
V(X+Y) = V(X) + V(Y) となります。
X と Y が独立なときに成立する公式を押させることで、独立という状況が扱いやすくなります。
さらに独立と関係なく成立する公式と合わせて、
V(aX+bY) = a2V(X) + b2V(Y) も導きます。
それでは、確率変数 X と Y が独立なときに、積 XY と和 X + Y に成立する公式について、解説します。
確率変数の独立 :積についてE(XY)
確率変数 X と Y について、X の取る値が a で、Y の取る値が b であるときに使う記号から説明します。
「X の値が a であり、かつ、Y の値が b となる確率」を表す記号を、
P(X =a, Y = b) と表します。
P(X = a) は、「X の取る値が a となる確率」で、
P(X = b) が、「Y の取る値が b となる確率」です。
確率変数 X と Y が互いに独立なとき、
P(X =a, Y = b)= P(X = a)P(X = b) となります。
P(X = a) と P(X = b) を掛け合わせるだけで良いので、独立なときは計算しやすくなります。
高校一年のときに、確率の単元で、二つの試行が独立ということを学習しました。片方の結果が、もう片方へ影響を及ぼさないことが試行の独立でした。
独立試行の確率について、確率どおしの積を計算しました。
同じ要領で、確率変数が独立なときは、
P(X = a) と P(X = b) を掛け合わせます。
確率変数 X と Y が独立なときに成立する公式について、確率変数の積 XY についての期待値に関する公式があります。
XYの値を論理的に観察
【X と Y が独立なとき】
確率変数 X が取る値が、x1, x2 だとします。
そして、それぞれが起こる確率が、
P(X = x1) = p1, P(X = x2) = p2 だとします。
確立変数 Y が取る値を y1, y2 とします。
そして、それぞれが起こる確率を、
P(Y = y1) = q1, P(Y = y2) = q2 とします。
X と Y が互いに独立なとき、期待値 E(XY) の値が、どうなっているのかを解説します。
X と Y について、それぞれの値が起こる確率が与えられている状況です。
そこで、X, Y の同時分布についての確率を考えます。
P(Y = y1) = q1 となるとき、次の場合が考えられます。
X = x1 の場合と X = x2 の場合が論理的に考えられます。
X と Y が互いに独立なので、
X = x1 かつ Y = y1 である確率は、
P(X = x1)P(Y = y1) = P(XY = x1y1) となっています。
P(X = x1) = p1, P(Y = y1) = q1 だったので、
XY の値が x1y1 である確率は、
P(XY = x1y1) = p1q1
Y = y1 のとき、X = x2 となる場合も考えられるので、XY の値が x2y1 となる確率も同様に計算できます。
P(XY = x2y1) =
P(X = x2)P(Y = y1) = p2q1
XY の期待値を求めるために、残りの可能性についても、起こる可能性を計算します。
Y = y2 のとき、
X = x1 または X = x2 です。
P(XY = x1y2) =
P(X = x1)P(Y = y2) = p1q2
Y = y1 かつ X = x2 のときも確率を計算します。
P(XY = x2y2) =
P(X = x2)P(Y = y2) = p2q2
これで、確率変数 XY が取る値と、それぞれの起こる確率を全て求めました。
ここまでの内容から、期待値を計算できます。
E(XY)を求める
XY の値が x1y1 となる確率は、
P(XY = x1y1) = p1q1 です。
XY の値が x2y1 となる確率は、
P(XY = x2y1) = p2q1
XY の値が x1y2 となる確率は、
P(XY = x1y2) = p1q2
XY の値が x2y2 となる確率は、
P(XY = x2y2) = p2q2
確率変数 XY の取る値と、その値となるときの確率を掛け合わせたものを全て足し合わせたものが、期待値の定義です。
したがって、
E(XY) = (x1p1+x2p2)(y1q1+y2q2)
= E(X)E(Y) となります。
このように、X と Y が互いに独立なとき、E(XY) は E(X) と E(Y) の積となっています。
【まとめ】
確率変数 X と Y が互いに独立なとき、
E(XY) = E(X)E(Y)
ちなみに、X と Y が独立であっても、独立でなくても、
E(X + Y) = E(X) + E(Y) となっています。
また、確率変数が X, Y, Z と三つあるときに、X, Y, Z が互いに独立であることの定義があります。
【定義】
確率変数 X, Y, Z について、X, Y, Z の取る任意の値をそれぞれ a, b, c とする。
P(X = a, Y = b, Z = c)
= P(X = a)P(Y = b)P(Z = c) が成立するとき、X, Y, Z が互いに独立であるという。
X, Y, Z が互いに独立であるときに、
期待値について、
E(XYZ) = E(X)E(Y)E(Z) が成立します。
それでは、X と Y が互いに独立であるとき、分散について役立つ公式を証明します。
確率変数の独立 :和についてV(X+Y)
【公式】
確率変数 X と Y が互いに独立なとき、
V(X + Y) = V(X) + V(Y)
この和についての分散の公式は、よく使います。
また、X と Y が独立であっても、独立でなくても、定数 t について、V(tX) = t2V(X) が成立します。
今、証明した公式と、V(tX) = t2V(X) を合わせると、次の公式が得られます。
V(aX+bY)の公式
【公式】
確率変数 X と Y が互いに独立であるとする。
a, b を定数とする。
このとき、
V(aX + bY) = a2V(X) + b2V(X)
＜証明＞
X と Y が独立なので、分散の和の公式から、
V(aX + bY) = V(aX) + V(bY)
さらに、V(aX) = a2V(X),
V(bY) = b2V(X) だから、
V(aX + bY) = a2V(X) + b2V(Y)【証明完了】
ちなみに、三つの確率変数 X, Y, Z が互いに独立なとき、定数 a, b, c について、
V(aX + bY + cZ) =
a2V(X) + b2V(Y) + c2V(Z) が成立します。
練習問題
【練習問題１】
表の出る確率が p (0 < p < 1) である百円玉を 2 回投げます。
1 回目に表が出たら X = 1,
1 回目に裏が出たら X = 0,
2 回目に表が出たら Y = 1,
2 回目に裏が出たら Y = 0
とすることにより、確率変数 X と Y を定義します。
a, b, c を p に無関係な定数とするとき、
Z = aX + bY + cXY という確率変数の期待値 E(Z) を求めてください。
＜解説と答え＞
1 × p + 0 × (1 － p) より、
E(X) = p, E(Y) = p です。
ここで、X と Y は独立だから、
E(Z) = E(aX + bY + cXY) =
aE(X) + bE(Y) + cE(XY)
さらに、X, Y が独立なので、
E(XY) = E(X)E(Y) より、
E(Z)= aE(X) + bE(Y) + cE(X)E(Y)
= ap + bp + cp2= cp2 + (a + b)p【答え】
もう一つ独立についての練習問題です。
【練習問題２】
X と Y が互いに独立な確率変数とします。
V(X) = 3, V(Y) = 4 のとき、
V(2X + 5Y) の値を求めてください。
＜解説と答え＞
X と Y が互いに独立なので、分散の和の公式から、
V(2X + 5Y) = 22V(X) + 52V(Y)
= 4×3 + 25×4 = 12 + 100 = 112【答え】
確率変数の独立 :関連するブログ記事
確率変数の独立について、高校一年で学習する独立試行についての確率の内容の続きとなります。
そのため、独立試行について、慣れておくことが大切になります。
典型的な独立試行の内容は、反復試行の確率で、互いに影響を及ぼさないということに慣れるのが良いかと思います。
また、論理的に考察を進めることも大切になります。このブログ記事でも、E(XY) を考えたときに、同時分布の内容を利用しました。
確率変数を論理的に考えつつ、その内容を計算で表すために、同時分布を合わせて学習しておくと良いかと思います。
このように、単元のつながりを考え、学習を進めながら理解する理論の幅を広げていくことが大切になります。
そうすると、反復試行の確率という高校一年の内容と、数学Bの二項分布が、確率変数の独立という観点からつながります。
二項定理の計算と合わせると、確率統計分野の理解に計算力が加わり、さらに得点チャンスが広がります。
独立に関連して、事象の独立についても説明をしています。
これで、今回の記事を終了します。
読んで頂き、ありがとうございました。