共役類 類等式 | 共役作用について、軌道の位数に関して成立する等式【中心の元は一点集合】

2023年3月10日

「 共役類 類等式 」は、作用を受ける側の共役という関係の理解が効いてきます。

集合論で習った類別を足掛かりに、部分群に関する群の内容や群の作用の考えを合わせます。

そうすると、正確な基礎の理解から類等式という有限群の位数についての等式に辿り着きます。

次の [1] と [2] を満たす写像が定義されているときに、群 G は集合 X に作用しているといいます。

【群の作用】

G × X → X, (g, x) → g(x) という写像について、次が成立するとき、群 G が集合 X に作用するという。

[1] 単位元 e ∈ G は、任意の x ∈ X に対して、
　e(x) = x

[2] 任意の g, h ∈ G と、任意の x ∈ X に対して、
　(gh)(x) = g(h(x))

この群の作用について、作用を受ける集合 X が G 自身で、
g(x) = gxg^-1 となっているのが、共役作用です。

共役類 類等式 :類別を目指して

群 G において、共役という二項関係を定義します。この共役という関係は、反射律・対称律・推移律を満たし、同値関係となります。

【共役という二項関係】
x, y ∈ G に対して、ある g ∈ G が存在して、
g(x) = gxg^-1 = y となっているとする。

このとき、x ～ y と表し、x と y が共役であるという。

そのため、G を共役という同値関係に基づいて、類別できます。

この類別は、群の作用についての言い方をすると、軌道分解です。
　
それでは、反射律から確認します。

反射律と対称律の確認

任意の x ∈ G に対して、x ～ x となることが反射律です。

これは、群の単位元の定義から明らかです。実際、exe^-1 = x

単位元 e なので、群における演算を計算したときの値は x そのものです。

つまり、e(x) = x なので、x ～ x の定義を満たしています。
　
次に対称律の確認です。

x, y ∈ G が x ～ y となっていたときに、y ～ x にもなっているというのが対称律です。

これは、群の逆元の存在が効いてきます。

x ～ y だとすると、共役の定義から、
ある g ∈ G が存在して、gxg^-1 = y となっています。

ここで、両辺に左から g^-1 を、右から g を乗じます。
x = g-1(gxg^-1)g = g^-1yg なので、
g^-1(x) = g-1(gxg^-1)g = g^-1yg

g^-1 の存在より、y ～ x となっています。

～ という二項関係が同値関係だということを示すためには、あと推移律の確認が必要になります。群の演算についての括弧のつけ方に注意して、推移律を確認します。

推移律の確認

x ～ y かつ y ～ z (x, y, z ∈ G) ならば、x ～ z であるということが、推移律です。推移律も成立することを確かめます。
　
x ～ y かつ y ～ z (x, y, z ∈ G) という仮定から、
ある g, h ∈ G が存在して、
gxg^-1 = y かつ hyh^-1 = z

ここで、群の演算についての結合律から、
(hg)x(g^-1h^-1) = hyh^-1 = z

さらに、
hg の逆元は (hg)^-1 = g^-1h^-1 なので、
(hg)x(hg)^-1 = z

これで、hg ∈ G の存在から、x ～ z が示せました。

以上より、～ が同値関係なので、G は同値類たちに類別されます。この各同値類について、異なる同値類どおしの共通部分は空集合です。

そして、すべての同値類の和集合は全体 G に一致します。この同値類のことを共役類といいます。

ここまでの内容は、G が無限集合のときでも成立します。類等式を考えるときは、群の位数が有限のときです。

G が有限群のときに、同値類である共役類の個数は有限個です。
それらを C(1), … , C(n) とします。

G = C(1) ∪ … ∪ C(n) となっています。

そして、i ≠ j のとき、
C(i) ∩ C(j) = Φ です。

よって、集合に含まれている元の個数である位数 |G| について、
|G| = |C(1)| + … + |C(n)| となっています。

共通部分が空集合なので、共通部分の個数を重複として引く必要がありません。そのため、和集合が全体に一致していることと合わせて、|G| を分割できました。

ここからは、G を有限群として、類等式を示します。

共役類 類等式 :共役類と同値類

G = C(1) ∪ … ∪ C(n) の中には、1 点集合となっている共役類があります。

1 点集合となっている共役類が、どういった元となっているのかを論理的に考察します。

上で、さらっと共役類という同値類は、群の作用についての各軌道と述べましたが、これは証明が必要な内容です。

この軌道と同値類が同じということを見切れると類等式は、ほぼ明らかになります。

軌道が同値類である証明

【軌道の定義】

x ∈ G について、
{gxg^-1 | g ∈ G} を x を含む G-軌道という。

x ∈ G について、x を含む G-軌道が、x を含む同値類と同じ集合となっていることを示します。

x ∈ G とすると、
G = C(1) ∪ … ∪ C(n) なので、和集合の定義から、
1 以上 n 以下の自然数 s が一意的に存在して、x ∈ C(s)となっています。

※ 異なる同値類が空集合なので、s の存在は一意的です。

この C(s) が x を含む G-軌道と一致することを示します。

任意の y ∈ C(s) について、同値類の定義から、y ～ x

対称律から、x ～ y なので、
ある g ∈ G が存在して、gxg^-1 = y

そのため、y = gxg^-1
∈ {gxg^-1 | g ∈ G}

これで、
C(s) ⊂ {gxg^-1 | g ∈ G} が示せました。

逆の包含関係

次に、任意の z ∈ {gxg^-1 | g ∈ G} が、C(x) の元であることを示します。

軌道の定義から、ある h ∈ G が存在して、

z = hxh^-1 となっています。

～ の定義から、この h の存在は、x ～ z ということを示しています。

x ～ z なので、z は x と ～ の関係にある G の元を全て集めた同値類 C(s) に含まれています。

以上より、x ∈ G について、x を同値類である共役類は、x を含む G-軌道と同じということが分かりました。

G-軌道が共役類ということなので、軌道の位数についての一般論が適用できます。

共役類 類等式 :共役類の位数と中心

{x ∈ G | gx = xg (∀g ∈ G)} を群 G の中心といい、Z(G) と表します。これは、G の元で、どの G の元とも可換であるものを全て集めた集合です。

※ 論理記号 ∀∃という記事で∀について解説しています。余白のために∀を使いました。

Z(G) は、G の部分群となっています。単位元 e は、Z(G) に含まれるので、どんな群についても、中心を定義することができます。

x ∈ Z(G) とすると、中心の定義から、
任意の g ∈ G に対して、
gx = xg となっています。

これは、gxg^-1 = x と同値です。

よって、この g は任意なので、
x が中心 Z(G) に含まれていると、x を含む G-軌道は、
{gxg^-1 | g ∈ G} = {x} となります。

ゆえに、中心 Z(G) の各元について、その元を含む G-軌道（共役類）は 1点集合ということになります。

ここまでの内容を整理します。
　

G = C(1) ∪ … ∪ C(n)
(|G| = |C(1)| + … + |C(n)|) という類別（軌道分解）について、1点集合となっている共役類を
C(t₁), … , C(t_l) と表すことにします。

そして、2 個以上の元からなる共役類を
C(i₁), … , C(i_α) と表します。

これらの 1点集合となっている共役類の元たちを全て集めると、中心 Z(G) となります。

よって、
|Z(G)| = |C(t₁)| + … + |C(t_l)|

|G| = |C(1)| + … + |C(n)| だったので、
|C(t₁)|+…+|C(t_l)|+|C(i₁)|+…+|C(i_α)| が |G| となっていることを合わせると、
|Z(G)| + |C(i₁)| + … + |C(i_α)| = |G| です。

あとは、2 個以上の元から成る共役類という G-軌道について、群論入門の結果を使えば、類等式の証明が完成します。

類等式へ

【ラグランジュの定理】

有限群 G が有限集合 X に作用しているとする。
x ∈ X について、x を含む G-軌道 Gx に含まれている元の個数は、固定部分群 G_x の G における指数である。

※ この定理は、記事の最後で証明を与えます。

この定理を使うと類等式の形になります。

x₁ ∈ C(i₁), … , x_α ∈ C(i_α) とすると、
x_k の固定部分群 N_G(x_k) は、
{g ∈ G | gx_kg^-1 = x_k} です。

この N_G(x_k) の指数 |G :N_G(x_k)| が x_k を含む G-軌道である C(i_k) の位数です。

よって、
|C(i₁)| + … + |C(i_α)|
= |G :N_G(x₁)| + … + |G :N_G(x_α)|

これと、先ほどの |Z(G)| を使った等式を合わせて、
シグマ記号を使ったものが類等式です。

|Z(G)| + Σ_k|G :N_G(x_k)| = |G| が類等式です。

今回の記事の内容ですが、内部自己同型写像は共役作用を表す自己同型写像写像です。そのため、内部自己同型写像を用いて表されるときもあります。

この記事で証明した類等式ですが、
斜体（可除環）の位数が有限であれば、可換体となっているというウェダーバーンの小定理を証明するときに使われます。
※ 数学科の三年くらいの内容になります。

ラグランジュの定理の証明

G を有限群とし、H を G の部分群とします。このときに、H から G への右作用を群 G の乗法を用いて定義することができます。

G × H → G を (g, h) に対して gh という G における積を対応させることで、H から G への右からの作用となります。

G の結合律から [1] が成立し、群 G の単位元について [2] が成立しています。

ここで、軌道というものを定義します。g ∈ G として、g を H の右作用で移してできる元全体の集合を考えます。

gH = {gh | h ∈ H} を g を含む H-軌道といいます。

※ e ∈ H は G の乗法についての単位元と一致していて、g = ge ∈ gH となっているので、g を含んでいる軌道です。

h, h’ ∈ H が h ≠ h’ となっているときに、
gh ≠ gh’ となっています。

作用を考えるときに、右と左の作用を一緒に用いながら議論を進めていくことが多いです。

ラグランジュの定理も、今のように右作用を考えている中で左作用も使うことで、議論を進ませることができました。

今度は、g, g’ ∈ G について、
gH ≠ g’H となっているときに、
gH ∩ g’H = Φ （空集合）となっていることを背理法で示します。

x ∈ gH ∩ g’H が存在したと仮定します。

このとき、ある h, h’ ∈ H が存在して、
gh = x = g’h’ と表すことができます。

よって、g = g'(h’h^-1) ∈ g’H となります。

そのため、ある s ∈ H が存在して、
g = g’s となります。

任意の k ∈ H とすると、gk = g'(ks) となり、
ks ∈ H なので、gk ∈ g’H です。

k は H の任意の元なので、gH ⊂ g’H ということになります。

g’ = g(h(h’)^-1) ∈ gH でもあるので、同様にして、g’H ⊂ g’H となります。そのため、部分集合の定義から、gH = g’H となります。

これは、gH ≠ g’H に矛盾します。ゆえに、背理法から gH ∩ g’H = Φ でなければなりません。

では、いよいよ定理の証明を行います。

証明の詳細

【定理】

有限群 G の部分群を H としたとき、
|H| は |G| の約数である。

＜証明＞

H の元を右から掛けることを、H から G への右作用とします。

g₁ ∈ G を 1 つ取ります。そして、g₁H という g₁ を含む軌道をつくります。

この g₁H が全体 G と一致していると、
| G | = |g₁H| = | H | となり、
| H | は | G | の約数となります。

そのため、g₁H が G に真に含まれているとして、以下の議論を進めます。

このとき、g₂ ∈ G － g₁H を任意に取ります。

g₁H ∪ g₂H が G に一致していなければ、
G － (g₁H ∪ g₂H) から g₃ を取るということを繰り返すと、G が有限群なので、有限回の操作で、和集合が全体 G に一致します。

g₁H ∪ … ∪ g_nH = G となったとします。

各 g_i の取り方から、
i ≠ k のとき、g_iH の中に g_k が含まれていないので、g_iH ∩ g_kH = Φ

※ g_iH ∩ g_kH ≠ Φ とすると、先ほど述べた H-軌道の議論から g_iH = g_kH となってしまい、g_iH の中に g_k が含まれていないことに反してしまいます。

| H | = |g_iH| (i = 1, 2, … , n) なので、
| G | = n × | H | です。

よって、| H | は | G | の約数となっています。【証明完了】

この証明で出てきた n を H の G における指数といいます。

G/H = {g₁H, … , g_nH} という部分集合の集まりを考えたときに、G/H に含まれている軌道の個数が指数です。

1 つの軌道について、さらに考察を進めます。

軌道の代表元

x ∈ g_iH を 1 つ取ります。

この g_i を含む H-軌道から取った元 x で、x を含む H-軌道を考えると、xH は、g_iH に一致します。

このことを、次のようにして示すことができます。

ある h ∈ H が存在して、x = g_ih と表せます。

この x に右から H を作用させると、
xH = (g_ih)H = g_i(hH) = g_iH

G における結合律を利用することで、右作用を g_i や h からの左作用に切り替えることができることが効いています。

左作用について、f_h は全単射です。

そして、H は G の部分群なので積で閉じています。

そのため、hH = f_h(H) ⊂ H であり、f_h(H) の位数と H の位数が等しいことから、
hH = H と結論づけられます。

ここから、ラグランジュの定理を 1 元生成の部分群について適用して、有限群の元の位数について述べておきます。

元の位数を考える

G を有限群とし、g ∈ G とし、
< g > を g を含む G における最小の部分群とします。

自然数 n に対して、g を n 個で積をとったものを gⁿ と表すことにします。

n にマイナスをつけた負の整数 – n については、
g^-1 を n 個で積をとったものを g^-n と表すことにします。

0 という整数については、G の単位元 e を g⁰ と表すことにします。

整数全体を Z と表すことにすると、
g を含む G における最小の部分群を < g > としていたので、
{g^z | z ∈ Z} ⊂ < g > です。

そして、{g^z | z ∈ Z} は g^z₁g^z₂ = g^z₁+z₂ となっていることから、G の部分群となっています。

そのため、< g > の最小性から、

{g^z | z ∈ Z} = < g > です。

この g で生成される部分群 < g > の位数を元 g の位数といいます。

部分群 < g > の位数について、ラグランジュの定理を適用すると、元 g の位数は G の位数の約数ということになります。

この元の位数は、整数論でオイラーのファイ関数を考えるときにも重要になります。

最後に、有限群の有限集合への作用に関して、軌道に含まれている元の個数について、基本となる内容を証明します。

固定部分群について

有限群 G が有限集合 X へ作用しているときを考えます。a ∈ X について、次のように G_a を定めます。

つまり、G_a = {g ∈ G | ga = a}

作用の定義から、
ea = a なので、e ∈ G_a です。

また、g, h ∈ G_a とすると、
(gh)a = g(ha) = ga = a,
a = g^-1a となります。

gh, g^-1 は a を動かさないので、
gh, g^-1 ∈ G_a となります。

よって、a を動かさない G の元をすべて集めた集合 G_a は G の部分群となっていることを示せました。

この G_a を a についての固定部分群といいます。

それでは、軌道に含まれている元の個数についての命題を示します。

＜証明＞

x についての固定部分群 G_x を H と置くことにします。

H の G における指数を n とすると、
G = g₁H ∪ … ∪ g_nH

g_i を含む H-軌道 g_iH のどの元 についても、x の移し先は同じになります。

実際、h, h’ ∈ H とすると、
(g_ih)x = g_i(hx) = g_ix

すなわち、(g_iH)x = g_ix

さらに、k ≠ i のとき、g_kx と g_ix は、異なる X の元になることが、背理法で示されます。

もし、g_kx = g_ix とすると、
(g_i^-1g_k) x = x より、g_i^-1g_k ∈ H となります。

ある h₀ ∈ H が存在して、
g_i^-1g_k = h と表せるので、
g_k = g_ih₀ ∈ { g_ih | h ∈ H} = g_iH

g_k = g_ke ∈ g_kH なので、
g_k ∈ g_kH ∩ g_iH となり、g_kH = g_iH となってしまいます。

これは、g_kH ≠ g_iH であったことに矛盾します。

よって、背理法から、g_kx と g_ix は、異なる X の元になることが示されました。

以上より、x を 含む G-軌道 Gx は、
g₁Hx ∪ … ∪ g_nHx
= {g₁x} ∪ … ∪ {g_nx} = Gx となっています。

したがって、
Gx = { g₁x, … , g_nx } に含まれている元の個数は、H の G における指数 n = |G/H| です。【証明完了】

ちなみに、G から G へ作用で、次のような共役作用というものが定義できます。

G × G → G, (g, h) → ghg^-1

この作用についての軌道分解について、位数に関する類等式という等式が成立します。

この内容が、上述した内容となります。

※ 群の作用という記事で、作用についての基礎的な内容を解説しています。

これで、今回のブログ記事を終了します。

読んで頂き、ありがとうございました。