中心列 | 降中心列と昇中心列への理解を整えて、ベキ零を理解する準備を整える

中心列-表紙

群論入門で" 中心列 “と、さらに、降中心列と昇中心列があります。これらの定義や基礎的な内容を理解することで、その先へと学習の理解が広がります。

この中心列についての基礎的な内容を理解できると、ベキ零についての学習が始められます。

可解と合わせて、可換体論にも関わってくるので、群論入門の終盤のこの内容を、きっちりと押さえておくと、数学科の3年次の代数の講義の単位の取得が見えてくるかもしれません。

三つの種類の列を理解するためには、交換子についての基礎の理解を使います。

まずは、降中心列から説明します。

中心列 :降中心列の定義

群 G について、これから降中心列の定義をします。そのために、交換子群についての基礎的な内容を述べておきます。

群 G の部分群 H, K について、
{hkh-1k-1 | h∈H, k∈K} という部分集合によって生成される G の部分群を H と K の交換子群といいます。

交換子群を表す記号を [H, K] とします。

また、H, K がともに G の正規部分群であるときに、
[H, K] も G の正規部分群となります。

交換子群という記事で、正規部分群となることの証明を述べています。

これら H, K の部分に、部分群を帰納的に定義して、降中心列を定義します。

帰納的に降中心列を定義する

群 G について、C1(G) = G と定めます。

そして、自然数 i について、
Ci+1(G) = [G, Ci(G)] と定義します。

すると、帰納法より、各自然数 n について、
Cn(G) は G の正規部分群となります。

先ほどの交換子群の H と K として、
G と Ci(G) を使い、帰納的に定義するわけです。

帰納的に定義しているので、帰納法を用いて、正規部分群となっていることが示せます。


【命題1】

群 G について、任意の自然数 n に対して、
Cn(G) は G の正規部分群である。


<証明>

n = 1 のとき、C1(G) = G は、G の正規部分群です。

n = i ≧ 2 について、
Ci(G) が G の正規部分群と仮定します。

すると、G と Ci(G) が G の正規部分群なので、
交換子群についての一般論から、
[G, Ci(G)] は G の正規部分群です。

つまり、Ci+1(G) = [G, Ci(G)] は G の正規部分群です。 ■

さらに、各自然数 n について、包含関係が成立しています。次の命題から、まさに降中心列の降という雰囲気が得られます。

降下する包含関係の証明

【命題2】

群 G と任意の自然数 n について、
Cn(G) ⊃ Cn+1(G) である。


<証明>

n = 1 のときを考えます。

C1(G) = G なので、
C1(G) ⊃ C2(G) となり、成立しています。

n = i のとき、
Ci(G) ⊃ Ci+1(G) であると仮定します。

すると、
Ci+2(G) = [G, Ci+1(G)]
⊂ [G, Ci(G)] = Ci+1(G) ということが分かります。

つまり、Ci+1(G) ⊃ Ci+2(G) です。

以上より、任意の自然数 n に対して、
Cn(G) ⊃ Cn+1(G) です。 ■

これで、
G = C1(G) ⊃ C2(G) ⊃ … ということが分かりました。

そして、【命題1】から、
各 Ci(G) は G の正規部分群です。

この正規部分群の列のことを降中心列といいます。

【命題1】と【命題2】を合わせると、次を得ます。

Ci(G)/Ci+1(G) ⊂ Z(G/Ci+1(G)) となります。

任意の g∈G と h∈Ci(G) に対して、
ghg-1h-1 = [g, h]
∈[G, Ci(G)] = Ci+1(G) です。

そのため、次のようになります。

降中心列-証明で使用

Ci+1(G) は G/Ci+1(G) の単位元なので、
(gCi+1(G))(hCi+1(G)) = (hCi+1(G))(gCi+1(G))

これは、hCi+1(G) が G/Ci+1(G) の任意の元と可換であることを示しています。

よって、Ci(G)/Ci+1(G) ⊂ Z(G/Ci+1(G))

次に、昇中心列について説明します。

中心列 :昇中心列について

群 H があったときに、
{h∈H | hg = gh (∀g∈H)} を H の中心といいます。

Z(H) で、H の中心を表すことにします。

H/N という剰余群についても、
Z(H/N) で、H/N の中心を表します。

ここから、昇中心列を定義するときに使うものたちの記号を定義します。

群 G が与えられたときに、
Z0(G) = {e}, Z1(G) = Z(G) と定義します。

※ 群の単位元のことを e と表しています。

そして、自然数 i に対して、
Zi+1(G) = {g∈G | gZi(g)∈Z(G/Zi(G))} と定義します。

例えば、Z2(G) だと、G の元 g で、
gZ(G) が、剰余群 G/Z(G) の中心の元であるをすべて集めたものです。

Z1(G) = Z(G) なので、
g∈Z2(G) ということは、
gZ1(G) が G/Z1(G) の中心の元となっているということです。

このとき、
Z2(G)/Z1(G) は、Z(G/Z1(G)) と一致しています。

※ 組成列という記事の最後の方で、この剰余群についての一般論を解説しています。

また、Z1(G) = Z(G) の各元を h とすると、
hZ1(G) = Z1(G) は、
G/Z1(G) の単位元なので、
hZ1(G)∈Z(G/Z1(G)) となっています。

そのため、Z2(G) の定め方から、
Z1(G) ⊂ Z2(G)
となっています。

また、G の単位元 e は、G のどの元とも可換なので、
Z0(G) = {e} ⊂ Z(G) = Z1(G) です。

すなわち、
Z0(G) ⊂ Z1(G) ⊂ Z2(G) となっています。

ここで、帰納的に Zi(G) を定義したことから、帰納法で、次のような上昇列となっていることが分かります。

帰納的に上昇列を確認

【命題3】

群 G と任意の非負整数 n に対して、
Zn(G) ⊂ Zn+1(G) である。


<証明>

n = 0 のときに成立していることを既に確認しました。

n = i のときに、
Zi(G) ⊂ Zi+1(G) が成立していると仮定します。

すると、Zi+1(G) の任意の元 h 対して、
hZi+1(G) = Zi+1(G) は、
剰余群 G/Zi+1(G) の単位元なので、
hZi+1(G)∈Z(G/Zi+1(G)) です。

よって、Zi+2(G) の定め方から、
h∈Zi+2(G)
です。

すなわち、Zi+1(G) ⊂ Zi+2(G) ■

これで、
{e} = Z0(G) ⊂ Z1(G) ⊂ Z2(G) ⊂ … という上昇列ができていることが確認できました。

各 Zi(G) が G の正規部分群となっていることを次に示します。

帰納的に順に確認

【命題4】

群 G と任意の非負整数 n に対して、
Zn(G) は G の正規部分群である。


<証明>

n = 0 のとき、Z0(G) = {e} は、G の正規部分群なので、成立しています。

n = i ≧ 0 のとき、
Zi(G) が G の正規部分群だと仮定します。

x∈Zi+1(G), g∈G を任意に取ります。

yZi(G)∈G/Zi(G) を任意の元として、
(gxg-1)Zi(G) が、yZi(G) と可換であることを示します。

xZi(G) は G/Zi(G) の中心の元なので、
xZi(G) は G/Zi(G) の任意の元と可換であることを利用します。

(gxg-1)Zi(G)
= (gZi(G))(xZi(G))(g-1Zi(G))
= (xZi(G))(gZi(G))(g-1Zi(G))
= xZi(G) となっています。

よって、
((gxg-1)Zi(G))(yZi(G))
= (xZi(G))(yZi(G))
= (yZi(G))(xZi(G))
= (yZi(G))((gxg-1)Zi(G))

すなわち、
(gxg-1)Zi(G)∈Z(G/Zi(G)) です。

(gxg-1)Zi(G) が G/Zi(G) の中心の元なので、
zi+2(G) の定め方から、
gxg-1∈Zi+2(G) です。

したがって、
Zi+2(G) も G の正規部分群となっています。

以上より、帰納法から、
群 G と任意の非負整数 n に対して、
Zn(G) は G の正規部分群です。 ■

これで、
{e} = Z0(G) ⊂ Z1(G) ⊂ Z2(G) ⊂ … という上昇列について、各 Zi(G) が G の正規部分群となっていることが確認できました。

この上昇列を G の昇中心列といいます。

中心列 :三つの列の関係

群 G の正規部分群の列があったとします。

G = G0 ⊃ G1 ⊃ … ⊃ Gr = {e}

0 ≦ i ≦ r-1 のそれぞれについて、
Gi/Gi+1 ⊂ Z(G/Gi+1) であるとき、この列を G の中心列といいます。

このため、中心列は特別な正規列のことです。
組成列という記事で正規列について解説をしています。

Gi-1/Gi ⊂ Z(G/Gi) は、[G, Gi-1] ⊂ Gi と同値です。

同値であることを確かめます。

Gi-1/Gi ⊂ Z(G/Gi) とすると、
g∈G, h∈Gi-1 に対して、
(ghg-1h-1)Gi
= (gGi)(hGi)(gGi)-1(hGi)-1
= (hGi)(gGi)(gGi)-1(hGi)-1
= (hGi)(hGi)-1 = Gi

そのため、ghg-1h-1∈Gi です。

つまり、[g,h]∈Gi となり、
[G, Gi-1] の生成元がすべて Gi に含まれているので、
[G, Gi-1] ⊂ Gi と分かります。

逆に、[G, Gi-1] ⊂ Gi とすると、
g∈G, h∈Gi-1 に対して、
ghg-1h-1∈Gi だから、
(ghg-1h-1)Gi = Gi です。

(gGi)(hGi)(gGi)-1(hGi)-1 = Gi だから、
両辺に右から (hGi)(gGi) を掛けると、
(gGi)(hGi) = (hGi)(gGi) となります。

つまり、hGi は G/Gi の任意の元と可換なので、
hGi∈Z(G/Gi) です。

ここまでで、降中心列と昇中心列と中心列という三つの列が出てきました。

降中心列だと、
各 Ci(G)/Ci+1(G) は Z(G/Ci+1(G)) に含まれるので、有限の長さで単位元に辿り着くと、中心列ということになります。

昇中心列については、
各 Zi+1(G)/Zi(G) が Z(G/Zi(G)) に含まれるので、有限の長さで全体 G に辿り着くと中心列ということになります。

これら三つの列の関係についての定理を証明します。

降中心列と中心列

【定理1】

群 G の中心列を、
G = G0 ⊃ G1 ⊃ … ⊃ Gr = {e} とする。

このとき、0 ≦ i ≦ r について、
Ci+1(G) ⊂ Gi である。


<証明>

i = 0 のときは、
C1(G) = G = G0 より成立しています。

i = k ≦ r-1 のとき、
Ck+1(G) ⊂ Gk と仮定します。

Ck+2(G) = [G, Ck+1(G)]
⊂ [G, Gk]

また、中心列の定義から、
[G, Gk] ⊂ Gk+1 です。

すなわち、Ck+2(G) ⊂ Gk+1 となります。

このため、帰納的に、
0 ≦ i ≦ r のとき、
Ci+1(G) ⊂ Gi が示せました。 ■

この【定理1】から、群 G が中心列をもつと、
n ≧ r+1 について、
Cn(G) ⊂ Cr+1(G) ⊂ Gr = {e} となります。

このため、降中心列は、r+1 番目以降の項が確実にすべて単位群となっています。

つまり、群 G が中心列をもつならば、降中心列が有限の長さで単位群に到達するということです。

降中心列が有限の長さで単位群に到達するということは、降中心列が中心列の定義を満たすことになります。

よって、【定理1】から次の【定理1’】を得ます。

【定理1’】

「群 G が中心列をもつ」ことと、「G の降中心列が有限の長さで単位群になる」ことが同値である。

次は、昇中心列について、同じようなことを考えます。

昇中心列と中心列

【定理2】

群 G の中心列を、
G = G0 ⊃ G1 ⊃ … ⊃ Gr = {e} とする。

このとき、0 ≦ i ≦ r について、
Gr-i ⊂ Zi(G) である。


<証明>

i = 0 のとき、
Z0(G) = {e} なので、
Gr = {e} ⊂ Z0(G) だから、成立しています。

i = k ≦ r-1 について、
Gr-k ⊂ Zk(G) と仮定します。

中心列の定義から、
[G, Gr-k-1] ⊂ Gr-k です。

ゆえに、[G, Gr-k-1] ⊂ Zk(G) となっています。

そのため、任意の h∈Gr-k-1, g∈G に対して、
(ghg-1h-1)Zk(G) = Zk(G) です。

よって、剰余群 G/Zk(G) において、
(gZk(G))(hZk(G)) = (hZk(G))(gZk(G))

したがって、hZk(G) は G/Zk(G) のすべての元と可換ということです。

すなわち、
hZr-k(G)∈Z(G/Zr-k(G)) となっています。

Zk+1(G) の定め方より、
h∈Zk+1(G) です。

つまり、
Gk+1 ⊂ Zk+1(G) です。

以上より、帰納的に、
0 ≦ i ≦ r について、
Gr-i ⊂ Zi(G) です。 ■

この【定理2】から、群 G が中心列をもてば、昇中心列が有限の長さで G に到達するということになります。

i = r のとき、
G = G0 ⊂ Zr(G) となるということです。

Zr(G) ⊂ Zr+1(G) ⊂ Zr+2(G) ⊂ … なので、
r 以降の項は、すべて G と等しくなっています。

この昇中心列を次のように眺めます。

G = Zr(G) ⊃ Zr-1(G) ⊃ … Z0(G) = {e} と、全体から単位群へという見方をします。

すると、それぞれの隣接する二項について、
Zi(G)/Zi+1(G) ⊂ Z(G/Zi(G)) だったので、
昇中心列が中心列となっていることが分かります。

そのため、【定理2】から次の【定理2’】を得ます。

【定理2’】

「群 G が中心列をもつ」ことと、「G の昇中心列が有限の長さで全体 G になる」ことが同値である。

これで、【定理1’】と【定理2’】によって、中心列をもつことを有限の長さの降中心列や昇中心列で書き換えることができるということが分かりました。

ちなみに、群 G が中心列をもつとき、G を冪零べきれい群といいます。

ここからは、ベキ零群の具体例です。

位数27の群:ベキ零の例

三元体 F 上の 3 次の上三角行列で、対角成分がすべて 1 となっているもの全体を G とします。

三元体 F の乗法単位元 1 を使った特徴的な 3 次の正方行列を利用します。

Ei,j を (i, j) 成分が 1 で、他の成分がすべて 0 となっている 3 次正方行列とします。

A∈G とすると、A は対角成分がすべて 1 の上三角行列なので、ある a, b, c という F の元を用いて、単位行列と行列単位を用いて、次のように表すことができます。

A = E+aE12+bE13+cE23 です。

ここで、B∈G も任意に取ります。

B = E+xE12+yE13+zE23 と F の元 x, y, z を用いて表すことができます。

AB∈G ということを示すのに、単位行列 E と三つの行列単位を使います。

E12E12 = E12E13 = O,
E12E23 = E23 ということが、行列の直接計算から分かります。

同様に、
E13E12 = E13E23 = O,
E13E13 = E13,
E23E12 = E23E13 = E23E23 = O ということが分かります。

また、AB は、
(E+aE12+bE13+cE23)(E+xE12+yE13+zE23) を分配律で括弧を外して整理した値です。

よって、AB は、E, E12, E13, E23 の F 上の一次結合として表されていることになります。

したがって、AB は対角成分がすべて 1 の上三角行列となっています。

よって、AB∈G です。

これで、行列の乗法に関して、G が閉じていることを示すことができました。

行列式の性質とも合わせて、G は非可換な群です。

F の元を成分としていることから、
|G| = 33 = 27 となっています。

ここからは、位数27の非可換な群 G が、冪零となっていることを証明することを目指します。

ベキ零行列を利用する

3 次の正方行列となると、逆行列について述べるのが大変になります。

そこで、G に含まれる行列の逆行列を、うまく表すことを考えます。

A∈G に対して、E-A が対角成分がすべて 0 である 3 次の上三角行列であることを利用します。

まず、E-A がベキ零行列であることを示します。

※ ベキ零行列は、ある自然数 n が存在して、n 乗すると零行列となる行列のことです。

E-A が対角成分がすべて 0 である 3 次の上三角行列なので、次のように、行列単位の F 上の一次結合で表すことができます。

ある a, b, c∈F が存在して、
aE12+bE13+cE23
= E-A となります。

そのため、
(E-A)2 =
(aE12+bE13+cE23)2 となります。

それぞれの行列単位の積を考えたときに、零行列 O となっている部分を消すと、次のようになります。

(aE12+bE13+cE23)2
= acE12E23 = acE13 です。

すなわち、
(E-A)2 = acE13 です。

このことから、
(E-A)3 =
(aE12+bE13+cE23)(acE13)
= O となります。

E-A は、3 乗すると零行列になるというベキ零行列ということが分かりました。

E-A は、上三角行列ですが、対角成分の値が 1 でないため、G の元ではありません。

しかし、E-A というベキ零行列を利用することで、A-1 を計算することができます。

キャラクター3の体上

A∈G に対して、E-A は 3 乗すると零行列となりました。

さらに、E と -A が行列の乗法について可換であることから、高校生のときに学習した 3乗の公式が使えます。

O = (E-A)3
= E-3A+3A2-A3 です。

今、三元体 F 上で考えていて、F の標数は 3 です。

つまり、3 = 0∈F という状況です。

※ 有限体の標数という記事で、標数について解説をしています。

3A や 3A2 のスカラー倍の部分が F の 0 なので、
O = E-A3 となっています。

よって、
A(A2) = E です。

群の逆元の一意性から、
A-1 = A2 ということが分かりました。

これで、G の任意の元について、逆行列を乗法を用いて表すことができました。

そうすると、正規部分群かどうかの確認がしやすくなります。

さらに部分群についての考察をします。

N = {E+xE13 | x∈F} という G の部分集合を考えます。

N は、(1, 2)成分と (2, 3)成分が 0 となっている G の行列をすべて集めたものです。

N の元は、対角成分がすべて 1 の上三角行列なので、G に含まれています。

ここで、N が G の部分群となっていることを示します。

x, y∈F とすると、
(E+xE13)(E+yE13)
= E+(x+y)E13+(E13)2
= E+(x+y+1)E13∈N

これで、N が行列の乗法で閉じていることが分かりました。

E = E+0E13∈N となっています。

そして、A∈N について、A∈G だから、
A-1 = A2∈N です。

これで、N が G の部分群であることを示すことができました。

また、
(E+xE13)(E+yE13)
= E+(x+y+1)E13
= E+(y+x+1)E13
= (E+yE13)(E+xE13) なので、
N 自身は可換群となっています。

中心列 :位数27の群で確認

次に N = {E+xE13 | x∈F} が G の正規部分群となっていることを確認します。

T∈N, A∈G を任意に取ります。

すると、ある x, a, b, c∈F が存在し、
T, A はそれぞれ、
E+xE13,
E+aE12+bE13+cE23 と表されます。

さらに、A-1 = A2 を計算します。

分配律で括弧を外して整理します。

(E+aE12+bE13+cE23)2 =
E+2aE12+(2b+ac)E13+2cE23

ここで、★ = 2b+ac と置きます。

すると、
TA-1 = TA2 =
(E+xE13)(E+2aE12+★E13+2cE23)
= E+2aE12+(★+x)E13+2cE23

ここで、★+x を ◇ と置きます。

E+2aE12+◇E13+2cE13 に左から A を掛けると、ATA-1 となります。

ATA-1 = ATA2 は、
(E+aE12+bE13+cE23) と
(E+2aE12+◇E13+2cE13) の積です。

計算結果の E13 のスカラー倍の部分を ◆ と置くことにします。

すると、F の標数が 3 より、
ATA-1 =
E+3aE12+◆E13+3cE23
= E+◆E13∈N です。

これで、N が G の正規部分群であることを示せました。

G ⊃ N ⊃ {e} という正規部分群の列ができました。

この列が中心列であることを示せると、G が冪零ということになります。

中心列の定義を満たすためには、
G/N ⊂ Z(G/N),
N/{e} ⊂ Z(G/{e}) を確かめることになります。

Z(G/N), Z(N/{e}) は、それぞれの剰余群の中心を表しています。

二つ目について、
G/{e} は G と同型なので、
N ⊂ Z(G) ということを示します。

T∈N, A∈G について、
T = E+xE13,
A = E+aE12+bE13+cE23 と F 上の一次結合で表します。

すると、
TA =
E+aE12+(b+x)E13+cE23
=E+aE12+(x+b)E13+cE23
= AT となります。

そのため、T∈Z(G) です。

群として同型なので、
N/{e} ⊂ Z(G/{e}) は、すぐに分かりました。

注意点【剰余類として】

G/N ⊂ Z(G/N) を示そうとするときに、N を法とした剰余類について、等しいのか等しくないのかを議論することになります。

N = {E+xE13 | x∈F} と表してきましたが、乗法群についての剰余群について議論をするので、+ の記号に注意です。

そこで、N は、(1, 2)成分と (2, 3)成分が 0 となっている G の行列をすべて集めたものだったということを拠り所として議論を進めます。

剰余群 G/N において、次のような等しい関係が成立していることが分かります。

任意の A∈G と任意の x∈F について、G と N の単位元 E を用いて、
AN = (AN)(EN)
= (AN)((E+0E13)N)
= (AN)((E+xE13)N) となっています。

N を法として、合同の記号を使って表すと、
A ≡ E ≡ E+xE13 (mod N) となっています。

このことを踏まえて、
x, a, b, c, p, q, r という F の元を使って、行列の計算を N を法として進めます。

A, B∈G を、それぞれ
A = E+aE12+bE13+cE23,
B = E+pE12+qE13+rE23 として、
AB ≡ BA (mod N) を示します。

中心列-位数27の群-冪零群の例

これで、
AB ≡ BA (mod N) ということが示せました。

通常の行列の乗法を計算すると、
AB と BA は (1, 3) 成分の値が等しいかどうか不明な状態になります。

しかし、N を法として考えている状況では、同値類が一致しているということです。

以上より、剰余群 G/N が可換群ということを示したので、
G/N ⊂ Z(G/N) となっています。

そのため、
G ⊃ N ⊃ {e} は G の中心列ということが分かりました。

よって、G は中心列をもつため、冪零ということになります。

行列を使って、冪零な群だけれども、可換ではないものが存在するということが分かりました。

関連する記事として、可解群という記事も投稿しています。

それでは、これで今回の記事を終了します。

読んで頂き、ありがとうございました。