直和空間 | ベクトル空間の内部直和分解の定義と同値な書き換え【外部直和も】

2023年8月11日

" 直和空間 “について、直和因子となっている部分空間の和として、一意的に表せることの同値な書き換えを証明します。その後で、ベクトル空間の外部直和についての定義を説明します。

ベクトル空間 V の n 個の部分空間によって、
W₁+W₂+…+W_n という和空間を定義することができます。

x∈W₁+W₂+…+W_n は和空間の定義から、
x = w₁+w₂+…+w_n (各 w_i∈W_i) と表すことができるのですが、その表し方が他にもある可能性があります。

W₁⊕W₂⊕…⊕W_n と（内部）直和になっていると、各 W_i の元の和としての表し方が唯一となります。

一般の n 個について、一意的な和の表し方であることを書き換える条件について、2 個の直和についてから、順に説明します。

この記事の最後で、ベクトル空間の外部直和（外直積）について、説明をします。

※ 目次の項目を選択すると該当箇所へ移動します。

直和空間 :二個の内部直和

体 K 上のベクトル空間（線形代数）を V とし、W₁ と W₂ を V の部分空間とします。

このとき、
{w₁+w₂ | w₁∈W₁, w₂∈W₂} を W₁ と W₂ の和空間といい、
W₁+W₂ と表します。
※ 部分空間の定義については、リンク先の記事で解説をしています。

単に和空間という場合だと、
t₁∈W₁, t₂∈W₂ で、(t₁, t₂) ≠ (w₁+w₂) だけれでも、
t₁+t₂ = w₁+w₂ ということが起きることがあります。

そこで、和空間の定義から、さらに条件を強めたものを内部直和といいます。

【内部直和の定義】

体 K 上のベクトル空間を V とし、W₁ と W₂ を V の部分空間とする。

このとき、W₁+W₂ の任意の元 x が、
w₁+w₂ (w₁∈W₁, w₂∈W₂) と一意的に表されるとき、
和空間 W₁+W₂ が W₁ と W₂ の内部直和であるという。

そして、W₁⊕W₂ で W₁ と W₂ の内部直和を表す。

これが、部分空間の内部直和の定義です。

和空間のどの元も、各直和因子である W₁ と W₂ の元を用いて、ただ 1 通りに和として表されるということです。

実は、このただ 1 通りの和として表すことができるということを書き換えることができます。

内部直和の定義を同値に言い換える次の命題を証明します。

共通部分が零空間

【命題１】

体 K 上のベクトル空間を V とし、W₁ と W₂ を V の部分空間とする。

このとき、「W₁+W₂ が内部直和であること」と、
「W₁∩W₂ = {0} であること」が同値である。

＜証明＞

W₁+W₂ が内部直和である仮定とします。

つまり、x∈W₁+W₂ を任意に取ると、x が W₁ と W₂ の元を用いて、ただ 1 通りに和として表されるということです。

すると、W₁∩W₂ ⊂ W₁ ⊂ W₁+W₂ なので、
w∈W₁∩W₂ とすると、
w = w+0 (w∈W₁, 0∈W₂) と表されます。

w∈W₁∩W₂ ⊂ W₂ なので、
w = 0+w (0∈W₁, w∈W₂) ともなっています。

よって、0, w∈W₁, 0, w∈W₂ ということから、W₁ と W₂ の元を用いて、ただ 1 通りに和として表されるため、w = 0+0 とならざるを得ません。

よって、w = 0 なので、W₁∩W₂ = {0} です。

逆に、W₁∩W₂ = {0} であると仮定します。

このとき、
x∈x∈W₁+W₂ を任意に取ると、x が W₁ と W₂ の元を用いて、
x = a₁+a₂, x = b₁+b₂
(a₁, b₁∈W₁, a₂, b₂∈W₂) と表せたとします。

すると、
0 = x－x = (a₁－b₁)+(a₂－b₂)

つまり、
－(a₁－b₁) = a₂－b₂ です。

この左辺は W₁ の元で、右辺は W₂ の元なので、
－(a₁－b₁) = a₂－b₂
∈W₁∩W₂ = {0} です。

そのため、
－(a₁－b₁) = a₂－b₂ = 0

よって、a₁ = b₁, a₂ = b₂ です。

これで、W₁ と W₂ の元を用いて、ただ 1 通りに和として表されることが示せたので、内部直和となっています。 ■

さらに、n 個の部分空間の内部直和についてです。

直和空間 :n個の内部直和

x∈W₁+W₂+…+W_n が各 W_i の和として一意的に表すことができるというのが、n 個のときの内部直和の定義です。

2 個のときの内部直和の定義と同様の自然な定義です。

n 個になっても、共通部分を用いて定義を書き換えることができます。

まずは、必要条件から n についての帰納法を用いて証明します。

【命題２】

体 K 上のベクトル空間を V とし、
W₁, W₂, … , W_n を V の部分空間とする。

このとき、
「x∈W₁+W₂+…+W_n が各 W_i の和として一意的に表すことができる」ならば、
「1 以上 n－1 以下の任意の自然数 i について、
(W₁+W₂+…+W_i)∩W_i+1 = {0}」である。

＜証明＞

n = 2 のときは、【命題１】より成立しています。

そのため、n が 3 以上の場合を示します。

n = i のとき、命題が成立していると仮定します。

n = i+1 のとき、
W₁+W₂+…+W_i+W_i+1
= (W₁+W₂+…+W_i)+W_i+1 です。

W₁+W₂+…+W_i と W_i+1 の二つの部分空間について、和で元を一意的に表すことができるため、【命題１】より、
(W₁+W₂+…+W_i)∩W_i+1 ={0} です。

また、帰納法より、1 以上 i－1 以下の任意の自然数 k について、
(W₁+W₂+…+W_k)∩W_k+1 ={0} です。

よって、1 以上 i 以下の任意の自然数 j に対して、
(W₁+W₂+…+W_j)∩W_j+1 = {0} です。 ■

今後は、この逆を帰納法で示します。

十分性の確認

【命題３】

体 K 上のベクトル空間を V とし、
W₁, W₂, … , W_n を V の部分空間とする。

このとき、
「1 以上 n－1 以下の任意の自然数 i について、
(W₁+W₂+…+W_i)∩W_i+1 = {0}」ならば、
「x∈W₁+W₂+…+W_n が各 W_i の和として一意的に表すことができる」ということが成立する。

＜証明＞

n = 2 のときは【命題１】より成立しているので、n が 3 以上の場合を示します。

n = i のときに命題が成立しているとし、n が i+1 の場合にも成立することを示します。

すなわち、
(a₁－b₁)+…+(a_i－b_i)+(a_i+1－b_i+1) = 0

移項すると、
(a₁－b₁)+…+(a_i－b_i) = －(a_i+1－b_i+1)

左辺は W₁+W₂+…+W_i の元で、右辺は W_i+1 の元です。

仮定より、
(W₁+W₂+…+W_i)∩W_i+1 = {0} です。

そして、
(a₁－b₁)+…+(a_i－b_i) と －(a_i+1－b_i+1) は、
(W₁+W₂+…+W_i)∩W_i+1 = {0} の元です。

つまり、
(a₁－b₁)+…+(a_i－b_i) = 0,
－(a_i+1－b_i+1) = 0

まず、a_i+1 = b_i+1 が示せました。

次に、W₁+W₂+…+W_i という和空間において、
(a₁－b₁)+…+(a_i－b_i) = 0 となっています。

i < i+1 なので、帰納法から、
和の表し方は一意的となっています。

よって、0+…+0 = 0 だから、
a₁－b₁ = 0, … , a_i－b_i = 0

すなわち、
a₁ = b₁, … , a_i = b_i

これで、n = i+1 の場合にも、
x の表し方が一意的であることが示せました。 ■

【命題２】と【命題３】によって、n 個の和空間が直和であることの必要十分条件が得られました。

加法についての一般の結合律を用いて、二個の部分空間の和空間と考えることをクッションにして、帰納的に n 個の場合についても成立するという内容でした。

W₁⊕W₂⊕…⊕W_n が全体の V と一致しているとき、V が（内部）直和分解されているといいます。

そして、各 W_i という部分空間が、このときの直和因子です。

最後に、ベクトル空間（線形代数）の n 個の外部直和について説明します。

直和空間 :外部直和について

今までは、V という一つのベクトル空間の部分空間について、内部直和かどうかを議論してきました。

ここからは、どこか一つのベクトル空間の部分空間とは限定をしないで、n 個のベクトル空間が与えられたときに、新しくベクトル空間を定義する外部直和のことについて述べます。

T₁, … , T_n を体 K 上のベクトル空間とします。

まず T₁×…×T_n という直積集合を作ります。

(a₁, … , a_n) と (b₁, … , b_n) について、直積集合に加法を次のように定義します。

(a₁, … , a_n)+(b₁, … , b_n)
= (a₁+b₁, … , a_n+b_n)

i 成分について、T_i における加法を計算するということを利用して、直積集合の元と元の加法を定義しました。

c∈K として、c からのスカラー倍も定義します。

k(a₁, … , a_n)
= (ka₁, … , ka_n) がスカラー倍の定義です。

それぞれの成分の値たちを一斉に k 倍しています。

この加法とスカラー倍について、直積集合がベクトル空間の公理を満たします。

このベクトル空間 T₁×…×T_n を、単なる直積集合であるだけでなく、ベクトル空間の構造を有しているということを示す意味で、外部直和といいます。

２個の外部直和についての例は、直積集合という以前に投稿したブログ記事で解説をしています。

有限次元の線形代数について、直交補空間についての記事も投稿しています。

また、n 次正方行列は行列単位の直和に分解しています。有限次元の結合代数の中で、一般線形群についての中心を求めるときにも、内部直和の発想が役に立ちます。

それでは、これで今回の記事を終了します。

読んで頂き、ありがとうございました。