群の作用 | 推移的な作用について
" 群の作用 “についての定義を述べた後、推移的な作用について解説をしています。
4次交代群という具体的な置換群を用いて、作用を受ける集合が、一つの軌道となっていることを具体的に確認しています。
作用の定義に基づいて、具体例で内容を押さえると学習をはじめやすいかと思います。
群 G が集合 X に作用をするということの定義を述べます。
群の作用 :推移的な作用の定義
G×X → G への写像が、
(g, x)∈X に対し、g(x) を対応させているとします。
次の [1] と [2] を満たすとき、群 G が集合 X に作用をしているといいます。
【群の作用の定義】
[1] G の単位元の作用が恒等的
単位元 e∈G は、任意の x∈X に対して、
e(x) = x である。
[2] 作用は結合的
任意の g, h∈G と任意の x∈X に対して、
(gh)(x) = g(h(x)) である。
G が X に作用しているとき、
fg : X → X を、x∈X に対して、
fg(x) = g(x) と定義します。
すると、fg は X から X への全単射となっていることが分かります。
【fg の全射性の証明】
x∈X を任意に取ります。
G が X に作用しているため、g-1∈G という g の G における逆元の X への作用を考えることができます。
そのため、g-1(x) は X の元です。
g-1(x) に [2] より、
fg(g-1(x)) = g(g-1(x))
= (gg-1)(x) = e(x)
さらに、[1] より、
fg(g-1(x)) = e(x) = x
これで、fg が全射であることを示せました。 ■
作用の定義の [2] と [1] から、
e(x) = e(y) より、x = y
これは、fg が単射ということを示しています。 ■
以上の内容から、fg は X 上の対称群 S(X) の元（置換）となっています。
また、g∈G に fg∈S(X) を対応させる写像を φ とすると、
[1] と [2] から、φ が群としての準同型写像であることが分かります。
ここまでの内容を踏まえて、群 G から X への作用が推移的であるということの定義を述べます。
【推移的であることの定義】
群 G が集合 X に作用しているとする。
このとき、任意の x, y∈X に対して、ある g∈G が存在し、
g(x) = g(y) となるとき、G は X に推移的 (transitive) に作用しているという。
※ 推移的であることは、可移的ともいわれます。
作用が推移的であることの同値な書き換えを示しておきます。
transitiveと同値
【同値な書き換え】
群 G が集合 X に作用しているとする。
このとき、
「ある x∈X が存在し、
{g(x) | g∈G} = X 」ということと、「G の作用が推移的である」ことは同値である。
＜証明＞
ある x∈X が存在し、
{g(x) | g∈G} = X だとします。
このとき、a, b∈X を任意に取ると、
a, b∈{g(x) | g∈G}
よって、ある h, k∈G が存在し、
h(x) = a, k(x) = b
h-1∈G を作用させると、
[1] と [2] の作用の定義から、
x = h-1(a)
ゆえに、
b = k(x) = k(h-1(a))
= (kh-1)(a)
kh-1∈G より、G の作用で a を b に移動できたので、作用が推移的であることを確認できました。
逆に、G が X に推移的に作用しているとします。
このとき、x∈X を任意に取り、
{g(x) | g∈G} という X の部分集合を考えます。
もし、{g(x) | g∈G} ≠ X だと仮定すると、以下のように矛盾が生じます。
{g(x) | g∈G} ≠ X ということは、
差集合 X－{g(x) | g∈G} が空集合でないということです。
つまり、y∈X－{g(x) | g∈G} が存在します。
すると、今、G が X に推移的に作用しているため、
ある g0∈G が存在し、
g0(x) = y
g0∈G だから、
y = g0(x)∈{g(x) | g∈G}
これは、y∈X－{g(x) | g∈G} に矛盾です。
よって、背理法から、
{g(x) | g∈G} = X ■
論理パズルで、推移的ということを書き換えることができました。
{g(x) | g∈G} という X の部分集合ですが、これを x を含む G-軌道といいます。
G が X に作用をしているとき、軌道を用いて X を非交和な G-軌道たちの和集合に分解することができます。
しかし、G から X への作用が推移的だと、X が、たった一つの G-軌道となっているということが、今の証明から分かりました。
具体例を使って、群の作用を見てみます。
群の作用の観点から4次の置換
x =(1, 2)(3, 4), y = (1, 3)(2, 4),
z = (1, 4)(2, 3) と置きます。
また e は恒等置換で A4 の単位元です。
V = {e, x, y, z} はクラインの四元群です。
X = {x, y, z} ⊂ V へ A4 からの作用を共役作用で定義できるかどうかを検証します。
g∈A4, σ∈X について、
g(σ) = gσg-1 と定義します。
※ 関連する記事として、A4 の軌道分解を具体的に求めた記事を投稿しています。
任意の σ∈X に対して、gσg-1∈X となることを示すと、A4 から X への作用が定義できたことになります。
そのため、x∈X に焦点を当て、
{g(x) | g∈A4} が X に含まれることを示します。
x, y, z∈X については、クラインの四元群が可換群となっているので、
x(x)= x,
x(y) = y, x(z) = z は X の元となっています。
（例えば、x(z) = xzx-1 = z(xx-1) = z です。）
A4－X－{e} の 8個の元について、x の像が X に含まれているかどうかを確認することになります。
具体的に確認
(2, 3, 4)x(2, 3, 4)-1
= (2, 3, 4)x(2, 4, 3)
= (1, 3)(2, 4) = y∈X というように、具体的に置換の合成を確認して示します。
(2, 4, 3)x(2, 4, 3)-1
= (2, 4, 3)x(2, 3, 4)
= (1, 4)(2, 3) = z∈X です。
あと 6 個についても、同じように確認します。
(1, 2, 3)x(1, 2, 3)-1
= (1, 4)(2, 3) = z∈X,
(1, 3, 2)x(1, 3, 2)-1
= (1, 3)(2, 4) = y∈X です。
残り 4 個について確認です。
(1, 2, 4)x(1, 2, 4)-1
= (1, 3)(2, 4) = y∈X,
(1, 4, 2)x(1, 4, 2)-1
= (1, 3)(2, 4) = y∈X です。
残りの 2 個についてです。
(1, 3, 4)x(1, 3, 4)-1
= (1, 4)(2, 3) = z∈X,
(1, 4, 3)x(1, 4, 3)-1
= (1, 3)(2, 4) = y∈X となります。
これで、
{g(x) | g∈A4} ⊂ X が確認できました。
また、x, y, z は、
どれも {g(x) | g∈A4} に含まれていたので、
{g(x) | g∈A4} = X です。
以上より、
A4 から X への作用を共役作用で定義できることが分かりました。
g∈A4, σ∈X に対して、
g(σ) = gσg-1∈X
しかも、
{g(x) | g∈A4} = X となっていることから、この作用は推移的です。
さらに、{g(x) | g∈A4} = X は、
任意の g∈A4 に対して、
gXg-1 = X, geg-1 = e なので、
クラインの四元群が A4 の正規部分群となっているということを意味しています。
つまり、
{e} ∪ {x, y, z}
= {e} ∪ X = V がクラインの四元群の軌道分解を表しています。
特に、V = {e, x, y, z} というクラインの四元群は、4 次交代群の共役作用で不変であることが分かりました。
クラインの四元群は、可換な部分群となっていると、乗積表から分かるので、4 次交代群の正規部分群となっています。
これで今回の記事を終了します。
読んで頂き、ありがとうございました。