群の作用 | 推移的な作用を4次の置換について具体的に見る【二重可移（推移的）についても】

2023年8月29日

" 群の作用 “についての定義を述べた後、推移的な作用について解説をしています。

4次交代群という具体的な置換群を用いて、作用を受ける集合が、一つの軌道となっていることを具体的に確認しています。

共役作用という基礎的な作用を使うため、入門的な群論の学習に良いかと思います。

この作用に関連する一つの結果として、4次対称群が可解であることを証明します。

記事の後半で二重可移や n 重可移についても解説しています。

※ 目次の項目を選択すると該当箇所へ移動します。

群の作用 :推移的な作用の定義

群 G が集合 X に作用をするということの定義を述べます。

G×X → G への写像が、
(g, x)∈X に対し、g(x) を対応させているとします。

次の [1] と [2] を満たすとき、群 G が集合 X に作用をしているといいます。

G が X に作用しているとき、
f_g : X → X を、x∈X に対して、
f_g(x) = g(x) と定義します。

すると、f_g は X から X への全単射となっていることが分かります。

【f_g の全射性の証明】

x∈X を任意に取ります。

G が X に作用しているため、g^-1∈G という g の G における逆元の X への作用を考えることができます。

そのため、g^-1(x) は X の元です。

g^-1(x) に [2] より、
f_g(g^-1(x)) = g(g^-1(x))
= (gg^-1)(x) = e(x)

さらに、[1] より、
f_g(g^-1(x)) = e(x) = x です。

これで、f_g が全射であることを示せました。 ■

【f_g の単射性の証明】

f_g(x) = f_g(y) (x, y∈X) とします。

すると、g(x) = g(y) です。

この両辺に g^-1∈G を作用させると、
g^-1(g(x)) = g^-1(g(y)) です。

[2] と [1] から、
e(x) = e(y) より、x = y です。

これは、f_g が単射ということを示しています。 ■

以上の内容から、f_g は X 上の対称群 S(X) の元（置換）となっています。

また、g∈G に f_g∈S(X) を対応させる写像を φ とすると、[1] と [2] から、φ が群としての準同型写像であることが分かります。

ここまでの内容を踏まえて、群 G から X への作用が推移的であるということの定義を述べます。

※ 推移的であることは、可移的ともいわれます。

この記事では、4次対称群が可解であることを証明します。

その前に、作用が推移的であることの同値な書き換えを示しておきます。

transitiveと同値

【同値な書き換え】

群 G が集合 X に作用しているとする。

このとき、
「ある x∈X が存在し、
{g(x) | g∈G} = X 」ということと、「G の作用が推移的である」ことは同値である。

＜証明＞

ある x∈X が存在し、
{g(x) | g∈G} = X だとします。

このとき、a, b∈X を任意に取ると、
a, b∈{g(x) | g∈G} です。

よって、ある h, k∈G が存在して、
h(x) = a, k(x) = b となっています。

h^-1∈G を作用させると、
[1] と [2] の作用の定義から、
x = h^-1(a) です。

ゆえに、
b = k(x) = k(h^-1(a))
= (kh^-1)(a) です。

kh^-1∈G より、G の作用で a を b に移動できたので、作用が推移的であることを確認できました。

逆に、G が X に推移的に作用しているとします。

このとき、x∈X を任意に取り、
{g(x) | g∈G} という X の部分集合を考えます。

もし、{g(x) | g∈G} ≠ X だと仮定すると、以下のように矛盾が生じます。

{g(x) | g∈G} ≠ X ということは、
差集合 X－{g(x) | g∈G} が空集合でないということです。

つまり、y∈X－{g(x) | g∈G} が存在するということです。

すると、今、G が X に推移的に作用しているため、
ある g₀∈G が存在して、
g₀(x) = y となります。

g₀∈G だから、
y = g₀(x)∈{g(x) | g∈G}

これは、y∈X－{g(x) | g∈G} に矛盾です。

よって、背理法から、
{g(x) | g∈G} = X です。 ■

論理パズルで、推移的ということを書き換えることができました。

{g(x) | g∈G} という X の部分集合ですが、これを x を含む G-軌道といいます。

G が X に作用をしているとき、軌道を用いて X を非交和な G-軌道たちの和集合に分解することができます。

しかし、G から X への作用が推移的だと、X が、たった一つの G-軌道となっているということが、今の証明から分かりました。

では、ここから 4次交代群 A₄ を使って、具体的に推移的な作用の例を述べます。

群の作用 :4次交代群の偶置換

4次交代群 A₄ は、1, 2, 3, 4 という異なる 4 つを入れ替える（並び替える）置換の中で、偶置換という偶数個の互換の積として表される置換全体です。

位数は、4次対称群 S₄ の位数の半分です。

4!÷2 = 24÷2 = 12 が、4次交代群の位数です。

これら 12 個の偶置換を全て書き出した上で、具体的に考察を進めます。

そのために、置換についての簡単な知識です。

● (i, j, k) = (i, k)(i, j)

※ ただし、i, j, k は、どの二つも相異なるとします。

実際に、三つの文字の置換を調べてみます。

(i, k)(i, j)(i) = (i, k)(j) = j,
(i, k)(i, j)(j) = (i, k)(i) = k,
(i, k)(i, j)(k) = (i, k)(k) = i となっています。

長さ 3 の巡回置換は 2 個の互換の積に分解できます。2 個の互換の積として表されたので、偶置換ということです。

つまり、(i, j, k) は交代群に含まれる置換となります。

例えば、(1, 2, 3) = (1, 3)(1, 2) です。そして、現れていない 4 は動かさないということを意味しています。

● (i, j, k)^-1 = (i, k, j)

※ ただし、i, j, k は、どの二つも相異なるとします。

(i, j, k)(i, k, j) = (i, k, j)(i, j, k) = e となっています。

(i, j, k)(i, k, j)(i) = (i, j, k)(k) = i,
(i, j, k)(i, k, j)(j) = (i, j, k)(i) = j,
(i, j, k)(i, k, j)(k) = (i, j, k)(j) = k です。

そのため、1, 2, 3, 4 のすべてを動かさないため、4次交代群の単位元です。

つまり、
(i, j, k)(i, k, j) = e となっています。

(i, k, j)(i, j, k) = e も、同じ要領で確認することができます。

A₄ という群の作用を具体的に扱うために、すべての元である偶置換を列挙しておきます。

12個の偶置換

これらは、4 次の置換を巡回置換分解した形にしています。

先ほど述べたように、長さ 3 の巡回置換は、2 個の互換の積として表されるので、偶置換となっています。

例えば、
(1, 3, 2) = (1, 2)(1, 3) です。

具体的に置換を書き出しているので、A₄ が可換群でないことが、すぐに確かめられます。

(1, 3, 2)(1, 3, 4)(3)
= (1, 3, 2)(4) = 4 です。

(1, 3, 4)(1, 3, 2)(3)
= (1, 3, 4)(2) = 2 です。

3 の像が異なることから、
(1, 3, 2)(1, 3, 4) と (1, 3, 4)(1, 3, 2) は異なる A₄ の置換です。

すなわち、
(1, 3, 2) と (1, 3, 4) は可換でないことが分かりました。

ここで、
e, (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3) という 4 個の偶置換から成る A₄ の部分集合を V とします。

この V は、クラインの四元群といって、A₄ の部分群となっています。

リンク先で示している詳細ですが、V の元と V の元で積をとると、可換になっていることが分かる乗積表が得られます。

また、関連する記事として、A₄ の A₄ への共役作用について、A₄ の軌道分解を具体的に求めた記事を投稿しています。

ここからは、入れ替え操作が推移的であることを、より強めた二重可移や n 重可移についての内容を解説します。

二重可移 :定義を具体例で観察

X = {1, 2, … , n} という異なる n 個の元から成る集合に関して、X から X への全単射をすべて集めたものを S(X) とします。

この S(X) は写像の合成を積として群の定義を満たします。

この S(X) を X 上の置換群（対称群）といいます。

S(X) の各元は、いくつかの互換の積として表すことができます。

互換の積としての表し方は、一意的とは限らないのですが、表すときに用いる互換の個数が、偶数個か奇数個かは、それぞれの置換によって確定します。

S(X) において、偶数個の互換の積として表される置換を偶置換といいます。

この偶置換をすべて集めると、S(X) の部分群となります。この部分群のことを X 上の交代群といいます。

X に含まれている元の個数が n 個のときに、n 次の置換群というのですが、4 次の交代群を例として取り上げます。

実は、4 次の交代群は、二重可移置換群の例となっています。

それでは、二重可移とは何かということの定義から説明をします。

【定義１】

X = {1, 2, … , n} に関して、S(X) の部分群を G とする。

X の相異なる 2 個の元 a₁, a₂ と、X の相異なる 2 個の元 b₁, b₂ に対して、ある G の元 g が存在して、
g(a₁) = b₁, g(a₂) = b₂ を満たすとき、G を X 上の二重可移置換群という。

n 次で文字ばかりを使った定義を見ると難しい感じがします。

そこで、具体的に 4 次交代群が、二重可移となっていることを確かめます。

具体的に様子を見る

X = {1, 2, 3, 4} とし、G を X 上の 4 次交代群とします。

a₁ = 1, a₂ = 2 は X の相異なる 2 個の元です。

b₁ = 3, b₂ = 4 も X の相異なる 2 個の元です。

G の元 g が存在して、
g(a₁) = b₁, g(a₂) = b₂ を満たすのかどうかを確認してみます。

交代群の元なので、全単射であり、なおかつ偶置換でなければなりません。

g(a₁) = b₁, g(a₂) = b₂ を満たす偶置換 g が存在するのかどうかを確認することになります。

存在証明ですから、条件を満たす偶置換を具体的に提示したいところです。

求める g となるように X から X への全単射 f を自分で定義することを考えます。

f : X → X で、
f(1) = 3, f(2) = 4 となっていなければなりません。

1 → 3, 2 → 4 という対応が前提です。

その上で、全単射であり偶置換であるように f を定義しなければならないという状況です。

今、1 と 2 の移動先は決まっているので、
X－{1, 2} の元である 3 と 4 の行き先を定義します。

3 の行き先ですが、3 と 4 は既に使ってしまっているので、 1 か 2 となります。

ここで、場合分けをします。

【f(3) = 1 の場合】

f(4) = 2 となります。

つまり、f(1) = 3, f(2) = 4, f(3) = 1, f(4) = 2 です。

巡回置換分解をして、さらに巡回置換を互換の積として表すと、偶置換か奇置換かが分かります。

f = (1. 3)(2, 4) となっていて、偶数個の互換の積として表されたので、f は偶置換です。

これで、f が 4 次交代群 G の元だと分かりました。

条件を満たす G の元 g として、この f を考えれば良いということが分かりましたが、後々の議論のために、もう一つの場合についても観察しておきます。

【f(3) = 2 の場合】

f(4) = 1 となります。

f(1) = 3, f(2) = 4 だったので、
f = (1, 3, 2, 4)
= (1, 4)(1, 2)(1, 3) です。

奇数個の互換の積なので、4 次交代群 G の置換ではありません。

ここまでの考察で、4 次交代群が二重可移であることの証明の糸口が残っています。

n = 4 で具体的に考察するよりも、n が 3 以上のときで一般的に証明した方が、論理的なセットアップがしやすい内容になっています。

二重可移 :n次の偶置換で証明

【定義２】

t を 3 以上の自然数とし、
X = {1, 2, … , t} に関して、S(X) の部分群を G とする。

X の相異なる n 個の元 a₁, … , a_n と、X の相異なる n 個の元 b₁, … , b_n に対して、ある G の元 g が存在して、
g(a_i) = b_i (i = 1, … , n) を満たすとき、G を X 上の n 重可移置換群という。

二重可移の定義から、自然と n 重可移も定義したくなります。

この n 重可移について、次の命題を証明します。

4 次交代群が二重可移という命題を一般化した命題となります。

抽象的に眺めると、先ほどの具体例での場合分けの部分の本質的な内容が明確になります。

＜証明＞

X の相異なる (n－2)個の元 a₁, … , a_n-2 と、X の相異なる (n－2)個の元 b₁, … , b_n-2 が与えられたとします。

差集合（補集合）を考えて、
X－{a₁, … , a_n-2}
= {c_n-1, c_n} と置きます。

同様に、
X－{b₁, … , b_n-2}
= {d_n-1, d_n} と置きます。

f : X → X を次のように定義します。

1 ≦ i ≦ n－2 のそれぞれに対し、
f(a_i) = b_i と定義します。

そして、
f(c_n-1) = d_n-1, f(c_n) = d_n と定めます。

f による相異なる n 個の X の元の行き先が異なるので、f は単射です。

X が有限集合なので、f(X) = X となり、f は全射でもあります。

ここで、f が偶置換だと、交代群 G の置換によって、相異なる (n－2)個の元がそれぞれ、もう片方の相異なる (n－2)個の元に移すことができるということになります。

そこで、f が奇置換である場合を考えます。

ここで、(d_n-1, d_n)f という合成置換を g とします。

g は偶置換なので交代群 G の元です。

X－{b₁, … , b_n-2} という差集合の元が、
d_n-1, d_n でした。

そのため、
1 ≦ i ≦ n－2 に対し、
(d_n-1, d_n)(b_i) = b_i です。

よって、
1 ≦ i ≦ n－2 に対し、
g(a_i) = (d_n-1, d_n)f(a_i)
= (d_n-1, d_n)(b_i) = b_i となっています。

これで、G が (n－2)重可移ということが示せました。【証明完了】

この命題を n = 4 のときに適用します。

抽象から具体へ

n = 4 のとき、【命題１】より、
4 次交代群は二重可移です。

数学では、具体的に見ているよりも、抽象的に仕組みを捉えにいった方が、明確にプロセスを理解しやすいときがあります。

【命題１】の証明内容を先ほどの例で確認してみます。

a₁ = 1, a₂ = 2 は X の相異なる 2 個の元、
b₁ = 3, b₂ = 4 も X の相異なる 2 個の元という状況でした。

4 次交代群で、
f(1) = 3, f(2) = 4,
f(3) = 2, f(4) = 1 でした。

この f は、奇置換だったわけです。

X－{b₁, b₂} = {d₃, d₄} と置きます。

差集合の定義から、
d₃, d₄ は 3 でも 4 でもありません。

そのため、
(d₃, d₄)(b₁) = (d₃, d₄)(3)
= 3 = b₁,
(d₃, d₄)(b₂) = (d₃, d₄)(4)
= 4 = b₂ です。

そして、(d₃, d₄)f という合成置換は偶置換なので、4 次交代群の元です。

さらに、
(d₃, d₄)f(a₁) = (d₃, d₄)(b₁)
= 3 = b₁
(d₃, d₄)f(a₂) = (d₃, d₄)(b₂)
= 4 = b₂ です。

偶置換 (d₃, d₄)f によって、a₁ は b₁ に移り、a₂ は b₂ に移っています。

ここまでで、二重可移置換群の例として 4 次交代群について考察をしつつ、n 次交代群が (n－2)重可移であることを証明しました。

ちなみに、n 次対称群 S(X) は、n 重可移となっています。

異なる n 個の元から成る有限集合 X の相異なる n 個の元は、n 以下の相異なる自然数を使って番号づけをすることができます。

この集合論入門の添え字づけの内容と合わせて押さえておくと良いかと思います。

n次対称群はn重可移

【命題２】

X = {1, … , n} に関して、
S(X) は n 重可移である。

＜証明＞

X の相異なる n 個の元 a₁, … , a_n と、X の相異なる n 個の元 b₁, … , b_n が与えられたとします。

1 以上 n 以下の自然数 i について、
f(i) = a_i, g(i) = b_i と定義します。

f と g は、X から X への全単射なので、S(X) の元です。

群の逆元が逆置換（逆写像）なので、
f^-1∈S(X) となっています。

そして、合成置換 gf^-1∈ S(X) です。

よって、
gf^-1(a_i) = g(i) = b_i です。【証明完了】

S(X) が n 重可移ということも示すことができました。

n 重可移の定義は、二重可移や一重可移（推移的）の定義を強めたものです。このことも示しておきます。

条件が強くなったことを確認

【命題３】

t を 2 以上の自然数とし、n を t 以上の自然数とする。

X = {1, 2, … , t} 上の置換群 G が n 重可移ならば、G は X 上で (n－1) 重可移である。

＜証明＞

X の相異なる (n－1)個の元 a₁, … , a_n-1 と、X の相異なる (n－1)個の元 b₁, … , b_n-1 が与えられたとします。

X－{a₁, … , a_n-1} から任意に元を取り、それを c と置きます。

また、X－{b₁, … , b_n-1} から任意に元を取り、それを d と置きます。

G は X 上の n 重可移置換群です。

そのため、ある g∈G が存在して、
「X の相異なる n 個の元 a₁, … , a_n-1, c を、それぞれ X の相異なる n 個の元 b₁, … , b_n-1, d に移す」ことができます。

特に、
1 ≦ i ≦ n-1 について、
g(a_i) = b_i です。

よって、G は X 上の (n－1)重可移置換群です。【証明完了】

二重可移や、より強い n 重可移についての定義の内容を解説しました。

n = 1 のときは、可移的な置換、もしくは推移的な置換です。

これが、この記事のはじめの方で述べたものになります。

【命題３】より、推移的（可移的）ということを強めたものが n 重可移ということになります。

これで今回の記事を終了します。

読んで頂き、ありがとうございました。