単項イデアル整域 ならば 素元分解整域 | 証明を通じて倍元や約元をイデアルで考える
「 単項イデアル整域 ならば 素元分解整域 」ということを証明します。
この証明を通して、倍元や約元をイデアルで考える良い練習になるかと思います。
イデアルを考えることで、包含関係についての極大性を利用して証明を進めます。
単元、素元、既約元の定義に基づいて、単項イデアル整域[PID]が素元分解整域（一意分解整域）[UFD]であることを示します。
ちなみに、素元分解整域だけれども、単項イデアル整域でない整域も存在します。また、素元分解整域でない整域も存在します。
このブログ記事では、可換環 R は乗法単位元 1 をもつ整域として議論を進めています。
まず、倍元と約元の関係をイデアルの包含関係を用いて表すことを説明します。
単項イデアル整域 :倍元と約元をイデアルで考える
乗法単位元 1 をもつ可換環 R の元を a と b とします。また、b は 0 でないとします。
a が b の倍元（b が a の約元）となっているとき、ある c ∈ R が存在して、a = cb と表すことができます。
このとき、Ra, Rb というイデアルを考えます。Ra は a の倍元全体で、a 一元で生成されている単項イデアルです。
Rb も同じく b で生成されている単項イデアルです。
a = cb (∃c ∈ R) ということは、Ra ⊂ Rb と同値です。
実際、a = cb (∃c ∈ R) とすると、
Ra = Rcb = (Rc)b ⊂ Rb
逆に、Ra ⊂ Rb だとすると、R は 1 をもつため、
a ∈ Ra ⊂ Rb です。
このため、ある c ∈ R が存在して、
a = cb となります。
この倍元と約元の関係についてのイデアルを用いた言い換えですが、c が単元でないときのことを考えてみます。
単元とは、0 でない R の元で、乗法逆元をもつもののことです。
ちなみに、0 でないどの R の元も単元であるとき、R を可換体といいます。
単元でないとき
【命題１】
a, b, c ∈ R について、b は 0 でなく c が単元でないとする。
そして、a = cb となっていたとする。
このとき、Ra は Rb に真に含まれる。
＜証明＞
もし、Ra = Rb だと仮定します。
すると、b ∈ Ra より、
ある r ∈ R が存在し、b = ra と表すことができます。
a = cb なので、b = r(cb) = (rc)b
右辺を左辺に移項すると、R が 1 をもつことから、b(1 － cr) = 0
b ≠ 0 であり、
R が整域なので、1 － cr = 0
つまり、cr = 1 ということになります。
しかし、これは c が単元であるということになり、c が単元ではないということに矛盾します。
ゆえに、背理法から、Ra は Rb と等しくないということになります。
a = cb なので、Ra ⊂ Rb となっていることと合わせると、Ra は Rb に真に含まれているということになります。【証明完了】
単項イデアル整域が素元分解整域であることの証明で、この【命題１】の内容を使って、単項イデアルの上昇列を考えます。
ちなみに、a ∈ R について、イデアル Ra が 1 を含むと、a が単元ということになります。
メインの証明のための準備で、今度はイデアルの極大性についての命題を証明します。
単項イデアル整域 :極大性を考える
＜証明＞
M を含む R と異なる R のイデアルをすべて集めたものを I とします。
この I は、包含関係を順序として、帰納的です。
T ⊂ I を任意の全順序部分集合系とすると、T に属するイデアルすべての和集合は、R と異なる R のイデアルとなるからです。
実際、T に属するイデアルすべての和集合を∪λWλ とすると、1 ∈ R は、この和集合に含まれません。
1 ∈ ∪λWλ とすると、和集合の定義から、ある μ が存在して、1 ∈ Wμ
Wμ は 1 を含む R のイデアルなので、Wμ が R と一致してしまいます。これは、Wμ が R と異なる R のイデアルであったことに反してしまいます。
そのため、1 が ∪λWλ に含まれないため、この和集合が R とことなる R のイデアルということになります。
※ イデアルの定義の確認は、後で同じような証明をするため、省略します。T が全順序であることから、加法で閉じていることが示せます。
よって、∪λWλ が T の上界となっていることが確認できました。任意の全順序部分集合系が上に有界なので、ツォルンの補題から、I には極大元が存在します。
この N ∈ I が求める包含関係についての極大なイデアルです。【証明完了】
導き出した N ですが、R における極大イデアルかどうかは定かではないので注意です。
注意点
一般に、零環ではない乗法単位元 1 をもつ可換環には極大イデアルが存在します。そして、極大イデアルは素イデアルとなっています。
以前に投稿した極大イデアルという記事で、このことを証明しています。
ただし、先ほど示した N は、M を含んでいる R と異なる R のイデアルの中で包含関係について極大というイデアルでした。
R における極大イデアルかどうかは定かではありません。
この内容が、単項イデアル整域が素元分解整域であることを証明するときに使う上昇列に関連します。
また、素元 既約元というブログ記事で、単項イデアル整域においては、素元と既約元が同じということを示しています。
素元の定義と既約元の定義を、どちらも利用して、メインの定理を証明します。
単項イデアル整域 :素元分解整域である証明
素元分解整域（一意分解整域）の定義は、任意の 0 でも単元でもない元 a が、
a = up1p2…pn と単元 u と 素元 pi たちを用いて表せるということです。
この素元による分解は、単元倍を除いて一意的です。
a 自身が素元のときは、
a = 1a を a の素元分解とします。
※ 一意分解整域という記事で、詳しく解説しています。
単項イデアル整域ならば、この素元分解整域の定義を満たすことを示します。
【定理】
零環ではない乗法単位元 1 をもつ可換環を R が整域とする。
R が単項イデアル整域ならば、R は素元分解整域（一意分解整域）である。
＜証明＞
背理法で示します。
もし単項イデアル整域 R において、0 でも単元でもない元で、素元の積に分解しない a ∈ R が存在したとします。
a が素元だと、a = 1a と素元分解されていることになるので、この a は素元ではありません。
Ra = R とすると、ある r ∈ R が存在して、
ra = 1 となり、a が単元でないことに反します。
よって、Ra ≠ R となっています。
【命題２】より、
Ra を含む R と異なる R のイデアルの中で、極大なイデアル N1 が存在し、Ra ⊂ N1
今、R が単項イデアル整域なので、N1 が一元で生成されています。その N1 の生成元を b1 とします。
Rb1 = N1 ≠ R なので、b1 は単元ではありません。（b1 が単元だとすると、Rb1 の中に 1 が含まれてしまい、N1 が R と異なることに反します。）
また a が 0 でないため、b1 も 0 ではありません。
a ∈ N1 = Rb1 より、ある c1 ∈ R が存在して、
a = c1b1 … (1)
今、単項イデアル整域において、a が素元でないので、a は既約元ではありません。
c1 が単元だとすると、a1 が単元ではないので、(1) から、a が既約元ということになってしまいます。a は既約元でないため、c1 は単元ではないということになります。
また、(1) から a が 0 でないため、c も 0 ではありません。
(1) から、【命題１】より、Rb1 と Rc1 は、どちらも Ra を真に含む R と異なるイデアルです。
b1 と c1 の両方ともが素元の積に分解したとすると、(1) から a が素元の積に分解することになってしまいます。
そのため、b1 か c1 のうち、少なくともいずれか一方は素元の積に分解しないことになります。
その素元の積に分解しない方を a1 と置きます。（どちらも素元分解されていないときは、どちらを a1 としてもかまいません。）
Ra ⊂ Ra1 で、Ra1 は真に Ra を含んでいて、a1 は素元の積に分解しない 0 でも単元でもない元という状況です。
ここまでの議論を繰り返すことで、
Ra ⊂ Ra1 ⊂ Ra2 ⊂ … という上昇列が作られます。
各 ak について、Rak は Rak+1 に真に含まれていて、ak たちは素元の積に分解しない 0 でも単元でもない元です。
ここで、A = ∪kRak と、上昇列に現れたイデアルたちの和集合をとります。
A は R のイデアルとなっていることが分かります。イデアルになっていることの確認は、後で述べることにします。
R が単項イデアル整域であることから、A は一元で生成されています。その生成元を x と置くことにします。
つまり、Rx = A = ∪kRak です。
x ∈ A なので、和集合の定義から、ある自然数 t が存在して、x ∈ Rat
よって、
Rx ⊂ R(Rat) = (RR)at ⊂ Rat
一方、Rx = A ⊃ Rat だから、
A = Rx = Rat
上昇列の作り方から、Rat+1 は Rat を真に含んでいるため、
A = ∪kRak ⊂ Rat+1 と Rat+1 が 和集合 A を真に含むことになります。
これは、矛盾です。
よって、背理法から、単項イデアル整域 R において、0 でも単元でもない元で、素元の積に分解しない a ∈ R が存在しないことが示せました。【証明完了】
この証明で、A = ∪kRak がイデアルであることを使いました。
包含関係についての極大なイデアルのときに、同じような状況でイデアルとしていたので、念のために確認しておきます。
イデアルである確認
y ∈ A = ∪kRak, r ∈ R とします。
和集合の定義から、
ある自然数 s が存在し、y ∈ Ras
よって、
ry ∈ r(Ras) = (rR)as ⊂ Ras
また、y, z ∈ ∪kRak とすると、ある自然数 s, s’ が存在して、y ∈ Ras, z ∈ Ras’
s ≦ s’ の場合は、y, z ∈ Ras’ より、
y + z ∈ Ras’ ⊂ A
s’ ≦ s の場合は、y, z ∈ Ras より、
y + z ∈ Ras ⊂ A
いずれの場合にも、y + z ∈ A となっています。
これで、A がイデアルであることが確認できました。
これで今回のブログ記事を終了します。読んで頂き、ありがとうございました。