組成列 | ジョルダン・ヘルダーの定理を知り、組成因子の扱いに慣れよう

組成列-表紙

群論の入門的な内容を学習するときに、終盤で「 組成列 」が出てきます。

ジョルダン・ヘルダーの定理を押さえ、組成因子の扱いに慣れておくと、その後の学習に役立ちます。

ガロア理論を学習するときにも群が可解かどうかということを考えるので、有限群に関し、可解群の定義と組成因子を用いた定義の書き換えについても解説します。

群論入門の内容も、あと少しです。

この記事では、群 G の単位元のことを e と表しています。

組成列 |定義と組成因子

【定義1】

群 G について、次のような正規列 [C] が与えられたとする。

G0 = G ⊃ G1 ⊃ … ⊃ Gr = {e}

この正規列 [C] の各項について、その間に一つも項を挿入できないとき、この正規列を組成列という。

すなわち、各剰余群 Gi-1/Gi が、全体と単位群以外の正規部分群をもたないということである。

また、組成列について、各 Gi-1/Gi を G の組成因子という。


正規列の特殊なものが組成列です。

また、群全体と単位群しか正規部分群をもたない群のことを単純群といいます。

正規列の場合は、細分といって、隣り合う項 Gj-1と項 Gj の間に部分群 H を挿入して、H が Gj-1 の正規部分群、かつ、Gj が H の正規部分群とできる可能性があります。

組成列は、正規列の特殊なもので、この細分をしようにも、そのような部分群が取れないという状態です。

群 G の組成列について、次の組成列が同型ということを示す定理が強力です。

ジョルダン・ヘルダーの定理

組成列についての基本を学習するときに、先に正規列についての基本が大切です。

正規列については、記事の後半で解説します。

正規列の細分について、次のシュライヤーの細分定理を使って、ジョルダン・ヘルダーの定理を導きます。


【シュライヤーの細分定理】

群 G の任意の二つの正規列は、同型な細分をもつ。

群 G の正規列が二つ与えられると、この細分定理から、二つの正規列は同型ということになります。

このことを使って、次の定理を導きます。

【ジョルダン・ヘルダーの定理】

群 G の任意の二つの組成列は同型である。


<証明>

群 G の組成列を [C] と [D] とします。

[C] と [D] にシュライヤーの細分定理を適用すると、二つの正規列は同型となります。

しかし、[C] と [D] は組成列なので、一つも項を挿入できていません。

そのため、[C] と [D] は同型であるということになります。 ■

シュライヤーの細分定理の証明は、二つの正規列の項たちを使って、挿入する G の部分群を作り、それらを挿入することで、項を挿入し切った後の正規列が同型となるというものです。

しかし、組成列が二つ与えられた状態では、新しい項を真に挿入することはできません。そのため、はじめの組成列どおしが同型ということです。

そのため、組成因子を適切に並び替えると、同型になっているということです。

扱いやすい具体例で、ジョルダン・ヘルダーの定理の内容を見てみます。

二つの組成列の例

xy-座標平面から xy-座標平面への線形変換で、中心角 60°の回転を表すものを f とします。

f を 6 回施すと、360°の回転で、もとに戻るため、f を 6 個で合成写像を作ると恒等写像となります。

この恒等写像を e と表すことにします。

つまり、f6 = e です。

※ このような回転を表す線形変換についての理解で、二面体群を学習することができます。

<f> を、この f という一つの元で生成される巡回群とします。

<f> は、位数 6 の巡回群なので、位数 3 の元と位数 2 の元が存在します。

<f2> が位数 3 の部分群で、<f3> が位数 2 の部分群です。巡回群はアーベル群なので、どちらも正規部分群となっています。

また、ラグランジュの定理から、位数 3 の群と位数 2 の群は、全体と単位群しか部分群をもちませんし、位数 6 の群には、位数 5 や 位数 4 の部分群が存在しません。

そのために、次の二つの正規列は組成列となっています。

【組成列 [C]】

<f6> ⊃ <f3> ⊃ {e}

【組成列 [D]】

<f6> ⊃ <f2> ⊃ {e}

ジョルダン・ヘルダーの定理の内容を見てみます。

各剰余群を適切に並び替えると、群として同型になっているときに、二つの正規列(組成列)が同型と定義されています。

<f6>/<f3> は位数 2 の群です。素数位数の群なので、位数 2 の元で生成される巡回群となっています。

もう一方の [D] について、
<f2>/{e} は位数 2 の群で、位数 2 の元で生成される巡回群となっています。

そのため、
<f6>/<f3> と <f2>/{e} は、どちらも位数 2 の巡回群なので、群として同型になっています。

さらに、[C] のもう一つの組成因子を見てみます。

<f3>/{e} は位数 3 の群で、位数 3 の元で生成される巡回群です。

[D] について、
<f6>/{f2} も位数 3 の群で、位数 3 の元で生成される巡回群となっています。

そのため、
<f3>/{e} と <f6>/{f2} は群として同型です。

組成列 [C] について、
左から、
<f6>/<f3>, <f3>/{e} という組成因子が現れていました。

組成列 [D] については、
左から、
<f6>/{f2}, <f2>/{e} という組成因子が現れています。

この剰余群の順番を並び替えると、
<f2>/{e} ≅ <f6>/<f3>,
<f2>/{e} ≅ <f3>/{e} です。

これが、剰余群を適切に並び替えると同型になっているということです。

ここからは、可解群の定義と、それに絡む組成列の内容です。

組成列 :可解の定義を書き換える

【定義2】

群 G が、各剰余群が可換群となっている正規列をもつとき、G を可解群という。

すなわち、
G0 = G ⊃ G1 ⊃ … ⊃ Gr = {e} という正規列で、
各 Gi-1/Gi が可換群というものが存在するということである。


群 G が可解群であることの定義に使われているのが正規列です。

この可解ということの定義を書き換えることができます。

この書き換えが正しいことを証明するために、補題を一つ示しておきます。


【補題】

有限群 G の位数が 2 以上で、psn(素数 p と自然数 n の最大公約数は 1)だとする。

このとき、G が単純群であり、可換群でもあるとすると、G の位数は素数 p である。


<証明>

もし。n が 2 以上とすると、n は素因数 q をもちます。

シローの定理より、
G は位数 q の部分群 H をもちます。

p と q の最大公約数は 1 なので、q は p群ではありません。

そのため、H は全体 G と異なり、単位群でもありません。

今、G は可換群という仮定の下で議論をしているため、この H は G の正規部分群です。

これは、G が単純群であることに矛盾します。

そのため、n = 1 でなければなりません。

|G| = ps ということが分かりました。

もし、S が 2 以上だとすると、再びシローの定理から、G は位数 p の部分群 K をもつことになります。

s ≧ 2 だと、K は G の正規部分群なので、G が単純群であることに矛盾します。

よって、|G| = p です。 ■

この【補題】を用いて、可解の定義を組成因子を使った内容に書き換えます。

有限群について可解と組成因子

【定理】

有限群 G について、G が可解群であることと、G の組成因子がすべて素数位数であることは同値である。


<証明>

G が可解であると仮定します。

すると、G は各剰余群が可換である正規列 [C]をもつことになります。

G が有限群なので、部分群が有限個しかないので、正規列 [C] に挿入できるすべての部分群を挿入するという細分をして組成列にします。

正規列 [C] の各剰余群が可換だったので、細分してできた組成列の組成因子は可換群です。

組成列の組成因子は単純群なので、可換ということから、【補題】より素数位数です。

これで、可解であることの必要条件を示せました。さらに、十分性を示します。

逆に、G が、各組成因子の位数が素数である組成列をもったとします。

素数位数の群は巡回群で、巡回群は可換ということから、その組成因子は可換です。

組成列も正規列なので、各剰余群が可換であることから、G は可解です。 ■

これで、有限群 G について、可解であることの必要十分条件が得られました。

実は、有限群に関して、可解かどうかについての十分条件で、とても強力な定理が証明されています。

【Feit-Thompson の定理】

奇数位数の群は可解である。

この定理は、20世紀の後半に証明されたもので、長年の予想が肯定的な解決されたものになります。

この証明を理解するとなると、数学科で有限群論を専攻して大学院でというようなレベルになります。そのため、証明は代数学の入門レベルの域ではありません。

組成列(正規列)について述べてきたので、可解群についての基本的な定理を述べておきます。

可解についての基礎的な定理

群 G の正規部分群を N とする。

このとき、G/N と N が、どちらも可解であれば、G は可解である。


<証明>

G/N が可解なので、次のような正規列が存在します。

G = *H0 ⊃ *H1 ⊃ … ⊃ *Hr = {eN},
各 *Hi-1/*Hi は可換群

各 i(i = 0, 1, … r)について、
Gi = {g∈G | gN∈*Hi} と置くと、
N ⊂ Gi で、Gi は G の部分群で、Gi は Gi-1 の正規部分群となっています。

そして、*Hi = Gi/N です。
※ このことは、正規列というブログ記事で詳しく解説しています。

よって、第三同型定理から、
*Hi-1/*Hi = (Gi-1/N)/(Gi/N) は、
Gi-1/Gi と群として同型です。

よって、G が可解なので、*Hi-1/*Hi が可換群であることから、
Gi-1/Gi は同型なので可換群です。

よって、
G = G0 ⊃ G1 ⊃ … ⊃ Gr = {e} は、G の正規列です。

第二同型定理という記事で、第三同型定理の証明を解説しています。

さらに、N も可解であることから、
N = N0 ⊃ N1 ⊃ … ⊃ Ns = {e} という正規列で、
各 Nj-1/Nj が可換群となっているものが存在します。

これら二つの正規列を合わせると、
G = G0 ⊃ G1 ⊃ … ⊃ Gr-1 ⊃ N0 ⊃ N1 ⊃ … ⊃ Ns = {e}
が G の正規列で、各剰余群が可換となっています。

よって、G は可解です。 ■

組成列や正規列について、可解群と合わせて基本的な内容を証明しました。

他にも可解群の定義を交換子群列を使って書き換えることもできますが、交換子群列については、次の記事で解説をすることにし、ここからは認めて使っていた正規列についての内容を示します。

組成列 – 正規列 :定義と細分の例

【正規列の定義】

G を群とし、e∈G を単位元とする。

そして、各 Gi (i = 0, 1, … , r) が次を満たす G の部分群とする:

G = G0 ⊃ G1 ⊃ … ⊃ Gr = {e} という部分群の列について、各 Gi が Gi-1 の正規部分群となっている。

このとき、この部分群の列を G の長さ r の正規列という。


G の正規列が二つあるときがあります。

そのようなときに、二つの正規列が同型ということが定義されています。

G = G0 ⊃ G1 ⊃ … ⊃ Gr = {e} を G の正規列 [C] とします。

そして、
G = H0 ⊃ H1 ⊃ … ⊃ Hs = {e} を G の別の正規列 [D] とします。

このとき、r = s で、
1, 2, … , r を適当に並び替えものを
σ(1), σ(2), … , σ(r) とすると、
1 ≦ i ≦ r である各 i について、
剰余群 Gi-1/Gi が Hσ(i-1)/Hσ(i) と群として同型となっていたとします。

これが G の正規列 [C] と正規列 [D] が同型であることの定義です。

つまり、片方を適切に並び替えると、それぞれの剰余群たちが群同型になっているということです。

一般に、二つの正規列が与えられたとき、そのままでは同型でないときがあります。

しかし、次に定義する細分ということを行うと、細分した後の正規列を同型にすることができます。

細分の定義

【細分の定義】

群 G の正規列 [C] にいくつかの項を挿入して得られる正規列を [C] の細分とする。


具体的な例を一つ述べておきます。

S3 を 3次対称群とし、A3 を 3 次交代群とし、S3 の単位元である恒等置換を e と表すことにします。

S3 ⊃ {e} は S3 の長さ 2 の正規列です。

S3 の位数は 6 で、A3 の位数は 3 です。

S3 における A3 の指数は、
6÷3 = 2 です。

指数2の部分群は正規部分群なので、A3 は S3 の正規部分群となっています。

S3 ⊃ {e} という正規列を細分します。

S3 ⊃ A3 ⊃ {e} が細分した後の正規列です。

ここから、シュライヤーの細分定理を証明するときに使う内容のものを導いておきます。

正規列 :二つの列を細分する方法

G = G0 ⊃ G1 ⊃ … ⊃ Gr = {e} を群 G の正規列 [C] とし、
G = H0 ⊃ H1 ⊃ … ⊃ Hs = {e} を G の別の正規列 [D] とします。

1 ≦ i ≦ r の各 i について、
Gi,j = Gi(Gi-1∩Hj) (ただし、1 ≦ j ≦ s)と置きます。

j = 0 のとき、
Gi-1 = Gi,0 となります。

実際、H0 = G なので、
Gi-1∩H0 = Gi-1∩G = Gi-1 です。

Gi-1 ⊃ Gi なので、
GiGi-1 = Gi-1 だから、
Gi,0 = Gi(Gi-1∩H0) = GiGi-1 = Gi-1 となります。

次に、j = s のとき、
Gi = Gi,s となることを示します。

Hs = {e} より、
Gi-1∩Hs = Gi-1∩{e} = {e} です。

このため、
Gi,s = Gi(Gi-1∩Hs) = Gi{e} = Gi です。

実は、Gi-1 ⊃ Gi の間に、
Gi-1 = Gi,0 ⊃ Gi,1 ⊃ … ⊃ Gi,s = Gi と s 個を挿入して細分することができます。

正規列[C]を細分してrs個の列に

0 ≦ j ≦ s-1 のとき、
Gi,j ⊃ Gi,j+1 となります。

このことを確認します。

Hj ⊃ Hj+1 なので、
Gi-1∩Hj ⊃ Gi-1∩Hj+1 です。

そのため、
Gi(Gi-1∩Hj) ⊃ Gi(Gi-1∩Hj+1) です。

つまり、Gi,j ⊃ Gi,j+1 となっています。

また、細分というためには、正規部分群であることを確認する必要があります。

そこで、ツァッセンハウスの補題(Zassenhaus’ lemma)の内容を使います。


【補題の前半の内容】

X, Y を群 G の部分群とし、X’ と Y’ をそれぞれ X, Y の正規部分群とする。

このとき、X'(X∩Y’) は X'(X∩Y) の正規部分群であり、
Y'(Y∩X’) は Y'(Y∩X) の正規部分群である。


X = Gi-1, X’ = Gi, Y = Hj-1, Y’ = Hj として、補題を適用します。

すると、
Gi(Gi-1∩Hj+1) は Gi(Gi-1∩Hj) の正規部分群ということになります。

つまり、
Gi,j+1 は Gi,j の正規部分群となっています。

これで、
Gi-1 = Gi,0 ⊃ Gi,1 ⊃ … ⊃ Gi,s = Gi と s 個を挿入して細分できたことが分かりました。

はじめに固定した i を 1 から r まで考えると、
正規列 [C] が rs 個の項から成る列に細分されました。

今、正規列 [C] を細分しましたが、与えられた状況が対称なので、正規列 [D] についても同様の細分を考えることができます。

もう片方も対称な形なので同様に

G = H0 ⊃ H1 ⊃ … ⊃ Hs = {e} は G の別の正規列 [D] でした。

先ほどと役割を入れ替えて、同様の議論をします。

1 ≦ j ≦ s を一つ固定します。

Hi,j = Hj(Hj-1∩Gi)(ただし、1 ≦ i ≦ r)と置きます。

Hj-1 = H0,j ⊃ H1,j ⊃ … ⊃ Hr,j = Hj となっています。

ツァッセンハウスの補題を適用すると、
Hj(Hj-1∩Gi+1) は Hj(Hj-1∩Gi) の正規部分群です。

つまり、
Hi+1,j は Hi,j の正規部分群となっています。

はじめに固定した j を 1 から s まで考えると、
正規列 [D] が rs 個の項から成る列に細分されました。

これで、正規列 [C] と [D] を両方とも細分して、rs 個の項から成る列としました。

以上の内容をまとめておきます。


組成列;正規列-細分

実は、この細分した二つの rs 個の項から成る正規列が同型となっているというのが、シュライヤーの細分定理です。

シュライヤーの細分定理を証明するには、ツァッセンハウスの補題の後半部分を使います。

シュライヤーの細分定理を証明

【補題の後半部分】

X, Y を群 G の部分群とし、X’ と Y’ をそれぞれ X, Y の正規部分群とする。

このとき、剰余群 X'(X∩Y)/X'(X∩Y’) と
Y'(Y∩X)/Y'(Y∩X’) は群として同型である。


先ほど、補題の前半部分で、正規部分群であることを述べました。正規部分群なので、剰余群を定義することができます。

X'(X∩Y) = Gi(Gi-1∩Hj),
X'(X∩Y’) = Gi(Gi-1∩Hj+1),
Y'(Y∩X) = Hj(Hj-1∩Gi),
Y'(Y∩X’) = Hj(Hj-1∩Gi+1) としてツァッセンハウスの補題の後半部分を適用します。
(0 ≦ i ≦ r-1, 0 ≦ j ≦ s-1)

すると、
Gi(Gi-1∩Hj)/Gi(Gi-1∩Hj+1) と
Hj(Hj-1∩Gi)/Hj(Hj-1∩Gi+1) が同型ということになります。

つまり、
Gi,j/Gi,j+1 と Hi,j/Hi+1,j が群として同型です。

これで、正規列 [C] の細分と正規列 [D] の細分が同型ということが示せました。

今、示した内容を定理として、まとめておきます。

導いた定理

【シュライヤーの細分定理】

群 G の任意の二つの正規列は、同型な細分をもつ。


先ほど示した正規列 [C] の細分と正規列 [D] の細分が同型となることが証明になります。

このシュライヤーの細分定理から、ジョルダン・ヘルダーの定理が導かれます。

ジョルダン・ヘルダーの定理には、組成列という特別な正規列についての定理です。

最後に組成列の定義と、簡単な具体例を述べておきます。

群 G の正規列 [C] のどの隣り合う二つの項についても、その間に正規部分群を真に挿入できないとき、その正規列を組成列といいます。

真に挿入するというのは、
Gi ⊃ Gi+1 のときに、
Gi ⊃ H ⊃ Gi+1 で、
Gi ≠ H, H ≠ Gi+1 となっている挿入のことです。

<組成列の例>

3次対称群 S3 の組成列です。

S3 ⊃ A3 ⊃ {e} は、もうこれ以上の正規部分群を挿入することができません。

このことを確かめておきます。

|S3| = 6, |A3| = 3 です。

S3 の正規部分群 N で、
S3 ⊃ N ⊃ A3 であり、
S3 ≠ N, N ≠ A3 となるものが存在したとします。

すると、位数について、
6 > |N| > 3 となります。

これを満たす自然数は、
|N| = 4, |N| = 5 しかありません。

4 も 5 も |S3| = 6 の約数ではありません。

しかし、ラグランジュの定理から、
|N| は |S3| の約数となります。

これは、矛盾です。

そのため、S3 ⊃ A3 の間に、真に正規部分群を挿入することができません。

同様に、|A3| = 3 で、素数 3 の正の約数は 3 と 1 のみなので、
A3 ⊃ {e} についても真に正規部分群を挿入することができません。

よって、
S3 ⊃ A3 ⊃ {e} は組成列です。

今後の内容も考えて、剰余群の正規部分群について成立する内容を述べておきます。

剰余について詳しく見る

剰余群について、正規列を考えるときもあるので、剰余群の正規部分群について成立する基本的な内容を説明します。

群 G の正規部分群 N について、G/N という剰余群が定義できます。

G/N も群なので、部分群が存在します。

*H ⊂ G/N が部分群となっていたときに、次のような G の部分集合 H を定義することができます。

H = {g∈G | gN∈*H} という G の部分集合です。

N のどの元も H に含まれるので、*H は空集合ではありません。

実は、この H は、G の部分群になっています。

x, y∈H とすると、H の定義から、
xN, yN∈*H となっています。

ここで、
(xy-1)N = (xN)(y-1N) = (xN)(yN)-1 です。

*H は G/N の部分群なので、
(xy-1)N = (xN)(yN)-1∈*H です。

そのため、xy-1∈H です。

部分群の判定方法から、H が G の部分群ということが分かりました。

さらに、この *H が正規部分群であるとき、H は G の正規部分群ということが同じ要領で示すことができます。

x∈H, g∈G とすると、
(gxg-1)N = (gN)(xN)(gN)-1 です。

今、*H が G/N の正規部分群という仮定の下で議論をしているので、
(gxg-1)N
= (gN)(xN)(gN)-1∈*H です。

そのため、gxg-1∈H です。

よって、H が G の正規部分群ということが示せました。

ここまで、*H を G/N の(正規)部分群として述べてきました。

実は、*H = H/N と一致します。

H の定義から、x∈H について、
xN∈*H なので、
H/N ⊂ *H です。

逆に、gN∈*H ⊂ G/N を任意に取ると、
この g∈G なので、H の定義から、
g∈H です。

そのため、gN∈H/N とです。

これで、*H = H/N ということが分かりました。

関連する記事として、
n次交代群という記事で可解について述べています。

それでは、これで今回の記事を終了します。

読んで頂き、ありがとうございました。