素元 と 既約元 | 素数が素元であることの証明【既約元だが素元ではない例もあり】

2023年5月9日

可換環が整域という状況で、「 素元 ならば 既約元 」が成立します。

しかし、一般に既約元が素元であるとは限りません。単項イデアル整域においては、素元であることと、既約元であることは同値になります。

この内容について、解説します。

また、素数が素元であるということを、素因数分解を使わないで証明をしています。

議論の流れによっては、循環論法になってしまうので、整数環が一意分解整域ということを示す前の段階で、素数が素元であることを示しておきます。

この記事では、可換環 R を乗法単位元 1 をもつ整域としています。

整域において、「素元ならば既約元」ということを示します。

その後で、単項イデアル整域においては、「素元であることと既約元であること」が同値だということを証明します。

まずは、素元と既約元の定義から押さえます。

素元 既約元 :定義の確認

R ∋ a ≠ 0 が乗法逆元をもつとき、a を単元といいます。

また、この記事で使う記号 x|b について、表す内容を述べておきます。

x, y ∈ R について、x ≠ 0 で、ある r ∈ R が存在して、y = xr となっているとき、y を x の倍元（もしくは x が y の約元）といいます。

x|y という記号は、y が x の倍元であるということを表します。

ここまでの定義を押さえた上で、素元と既約元の定義です。

【素元の定義】
a ∈ R が 0 でも単元でもないとする。
そして、「a|bc (b, c ∈ R) ならば a|b または a|c」が成立するとき、a を R における素元という。

【既約元の定義】
a ∈ R が 0 でも単元でもないとする。
そして、「a = bc (b, c ∈ R) ならば b または c が単元である」ということが成立するとき、a を R における既約元という。

整数環を Z と表します。Z は通常の加法と乗法に関して、可換環であり、整域となっています。Z において、素数が素元であることを確認します。

素元であるものの典型的な具体例として押さえておくと良いかと思います。

素数は素元である

p ∈ Z を素数とします。Z において乗法逆元をもつものは、1 と －1 だけなので、2 以上の自然数である素数 p は単元ではありません。

p|bc (b, c ∈ Z) だとします。もし、b が p の倍元でなく、かつ c も p の倍元ではないと仮定すると、矛盾が生じます。

実際、Z はユークリッド整域で、除法の定理が成立するので、b と c を次のように表せます。

b = xp + r (0 < r < p),
c = yp + r’ (0 < r’ < p)

ただし、x, y, r, r’ は全て整数です。

b と c が p の倍元ではないという仮定なので、r と r’ は 0 ではありません。

今、bc = (xp + r)(yp + r’)

右辺を展開すると、
(xyp)p+(xr’)p+(ry)p+ rr’ です。

つまり、
bc－((xyp)+(xr’)+(ry))p = rr’

仮定より、
p|bc で、((xyp)+(xr’)+(ry))p も p の倍元だから、右辺の rr’ も p の倍元ということになります。

つまり、p|rr’ (0 < rr’ < p²)

0 より大きく p² より小さいという範囲にある p の倍数は、p のみです。

よって、p = rr’

これは、r が p の正の約数であることを示しています。

p の正の約数は 1 と p の 2 通りで、今、r は p より小さいという状況です。そのため、r は 1 ということになります。

したがって、p = rr’ = r’

しかし、これは r’ < p であることに矛盾しています。

「b が p の倍元でなく、かつ c も p の倍元ではない」と仮定すると矛盾が生じました。

そのため、「b が p の倍元、または c が p の倍元である」ということになります。

よって、素数 p は、素元であることの定義を満たしました。

素元 既約元 :素元ならば既約元の証明

可換環 R が乗法単位元 1 をもつ整域という状況では、「素元ならば既約元」ということが成立します。

この命題を証明します。一般に逆が成立するとは限らないので注意です。

反例は、このブログ記事の最後に述べることにします。

【命題】
可換環 R を乗法単位元 1 をもつ整域とする。
このとき、R において、素元ならば既約元である。

＜証明＞
a ∈ R を素元とします。

そして、a = bc (b, c ∈ R) とします。
　
このとき、a|bc となっています。

a は素元なので、
a|b または a|c です。

ここで、場合分けをして、いずれの場合についても a が既約元であることを示します。

a|bの場合

a|b より、ある x ∈ R が存在して、
b = ax と表すことができます。

よって、a = bc, b = ax

a = axc より、0 = a(xc － 1)

今、a は素元なので、a ≠ 0 です。
そして、R が整域なので、
xc － 1 = 0

すなわち、xc = 1 なので、c は単元です。

これで、a|b の場合は、
a = bc と仮定すると、c が単元ということが示しました。

次に、a|c の場合の議論をします。

a|cの場合

a|c より、ある y ∈ R が存在して、
c = ay と表すことができ、
a = bc, c = ay となっています。

よって、a － bya = 0

つまり、a(1 － by) = 0

a は素元なので、a ≠ 0 です。そして、R が整域であることから、1 = by

これは、b が単元ということを示しています。

以上より、a = bc とすると、b が単元、または c が単元ということが示せました。

すなわち、a は既約元です。【証明完了】

今、示した【命題】から、整域において、素元は既約元ということを示しました。R が単項イデアル整域のときには、逆も成立します。

※ 乗法単位元をもつ可換な整域が、どのイデアルも単項イデアルであるときに、単項イデアル整域といいます。

素元 既約元 :単項イデアル整域において

記号ですが、(a) は a 一元で生成されているイデアルです。
{ar | r ∈ R} が (a) です。

＜証明＞

まず、[1] ならば [2] を示します。

a を既約元とし、M を (a) を真に含む R のイデアルとします。

R が単項イデアル整域なので、M は一元で生成されています。
よって、b ∈ R について、M = (b) となっているとします。

a ∈ (a) ⊂ M = (b) より、
ある c ∈ R が存在して、a = bc

今、a が既約元であることから、「b が単元 または c が単元」となります。

c が単元だとすると、
b = ac^-1 ∈ (a) となり、(b) が (a) を真に含んでいるということに反します。

そのため、b が単元ということになります。

すると、1 = bb^-1 ∈ (b)

よって、(b) = R となり、(a) を真に含むイデアルは R しかないということになります。

つまり、(a) は零イデアルではない極大イデアルということが示せました。

極大イデアルというタイトルの以前に投稿した記事で、
「極大イデアルならば素イデアル」ということを示しています。

このことを用いて、[2] ならば [3] を示します。

後半の証明

a ∈ R について、
(a) は零イデアルではない極大イデアルとします。

a ∈ (a) ≠ {0} より、a ≠ 0 です。

そして、極大イデアルは素イデアルという他のブログ記事で示したことから、(a) は素イデアルです。

そのため、a|xy (x, y ∈ R) とすると、
ある r ∈ R が存在して、xy = ar と表されることから、
xy ∈ (a) となります。

素イデアルの定義から、
x ∈ (a) または y ∈ (a)

(a) は単項イデアルなので、(a) に含まれている元は、すべて a の倍元です。そのため、x または y が a の倍元ということになります。

つまり、a|x または a|y です。これは、a が素元の定義を満たしているということです。

よって、[2] ならば [3] が示せました。

はじめに示した【命題】から、素元は既約元なので、
[3] ならば [1] が成立します。

以上より、[1], [2], [3] は、どの二つも同値であることが示せました。【証明完了】

この【定理】の証明に、単項イデアル整域ということを頻繁に用いました。

前提となる単項イデアル整域という仮定を外すと、既約元だけれども、素元ではない例が構成できてしまいます。

反例を次に示します。

素元 既約元 :既約元だが素元でない例

(－5)^1/2 を x² = －5 の虚数解で、符号がプラスの方とします。

{a + b(－5)^1/2 | a, b ∈ Z} を A と置きます。この A は、複素数体の部分環で、可換な整域となっていて、乗法単位元 1 を含みます。

x = a + b(－5)^1/2 (a, b ∈ Z) に対して、写像 n を n(x) = a² + 5b² と定義します。

x に対して、x と x の共役複素数の積を対応させるという写像です。
このノルムみたいなものについての性質を以下にまとめます。

複素数の計算をすると、
x, y ∈ A に対して、
n(xy) = n(x)n(y) となることが分かります。

また、x ≠ 0 のとき、a または b が 0 でないため、n(x) > 0 となっています。

そして、x ∈ A が単元だとすると、
x = 1 または －1 となります。

この理由を示しておきます。

x = a + b(－5)^1/2 (a, b ∈ Z) が単元だとすると、ある y ∈ A が存在して、
xy = 1 となります。

そのため、
n(x)n(y) = n(xy)
= n(1) = 1² + 0² = 1

n(x) と n(y) は整数なので、n(x) は 1 の約数となります。

そのため、a² + 5b² という整数は 1 の約数です。

a, b が整数ということから、b = 0 でなければ、1 より大きくなってしまいます。

よって、b = 0 より、a² = 1

つまり、(a, b) = (1, 0) または (－1, 0) です。

ゆえに、x = 1 または x = －1 となります。

ここまでの内容を使って、既約元だけれども素元でない A の元が存在することを示します。

反例の存在

2 = 2 + 0×(－5)^1/2 ∈ A が、「既約元 ならば 素元」の反例です。

2 は既約元だけれども、素元ではないことを確かめます。

【2 が既約元である証明】
2 = xy (x, y ∈ A) とします。

4 = n(2) = n(xy) = n(x)n(y)

x または y が 0 だとすると、
n(x)n(y) = 0 となってしまい、4 であることに反します。

そのため、x と y が 0 でないので、
n(x) > 0, n(y) > 0 となっています。

n(x) と n(y) は正の整数で、4 の約数ということになります。

そのため、
n(x) = 1, 2, 4 の場合が考えられます。

n(x) = 1 の場合、
a + b(－5)^1/2 (a, b ∈ Z) とすると、
b = 0 が導かれ、n(x) = a² = 1

すなわち、x = 1 または x = －1 となり、x が単元となります。

n(x) = 2 の場合は起こり得ません。

a² + 5b² = 2 (a, b ∈ Z) とすると、
2 － a² = 5b² ≧ 0

つまり、2 ≧ a² より、
a = 1 または 0 または －1 となります。

すると、5b² = 1 または 2
これは、5 が 1 または 2 の約数となり矛盾です。

n(x) = 4 の場合、n(y) = 1 となり、
y = 1 または －1 となります。

そのため、y が単元となります。

以上より、2 = xy とすると、
n(x) = 1 または 4 となり、x または y が単元となり、2 は A における既約元です。

【2 が素元でない証明】
(1 + (－5)^1/2)(1 － (－5)^1/2) = 6 で、6 は 2 の倍数です。

そのため、
2|(1 + (－5)^1/2)(1 － (－5)^1/2) となっています。

しかし、
1 + (－5)^1/2 と 1 － (－5)^1/2 は、どちらも 2 の倍数ではありません。

そのため、2 は素元であることの定義に当てはまりません。

以上より、2 ∈ A は、既約元だけれも素元ではありません。

環論の記事として他に
最大公約元という記事も投稿しています。

これで、今回の記事を終了します。

読んで頂き、ありがとうございました。