ツォルンの補題 – 使い方 | 線形空間の基底の存在証明

2023年4月10日

" ツォルンの補題 – 使い方"を意識して、線形空間の基底の存在を証明します。

また、一つの線形空間における基底の濃度は一定であることを、基底が無限集合の場合について証明しています。

体の零元ではない元が乗法逆元をもつことが決め手です。

無限個の生成元の一次結合に慣れるための良い練習になる内容かと思います。

この記事では、体 K 上の線形空間（ベクトル空間）を V とし、V が無限次元の場合を想定しています。

まず、無限個の元から成る部分集合で生成される部分空間について説明をしてから、基底の存在を証明を行います。

有限個の元の和という発想に触れる良い機会になるかと思います。

ツォルンの補題の使い方は、補題の内容の結論以外の条件を満たすことを確認するというシンプルなものです。

ツォルンの補題 :その前に無限個の生成元を理解

体 K 上の線形空間 V の空ではない部分集合を S とします。

この S に含まれている元の個数が無限個のとき、S によって生成される V の部分空間の定義を押さえることが大切になります。

S から有限個の元を任意にとり、それらの一次結合で表される V の元を全て集めると、S によって生成される部分空間です。

記号で表すと、
Σ_x∈Sk_sx (k_s ∈ K)
（ただし、有限個を除いて k_s は 0 (体 K の零元) ）という形の有限和をすべて集めたものたちです。

このような有限和全体が、S によって生成される V の部分空間で、＜S＞ と表します。

和とスカラー倍で閉じていることを確認します。

部分空間であることの証明

＜S＞が部分空間となっていることを確認します。

＜S＞ から、任意に二つの元を取ると、次のような形になっています。

Σ_x∈Sa_sx, Σ_x∈Sb_sx (a_s, b_s ∈ K)

ただし、a_s, b_s は有限個を除いて 0 とします。

これらの和も有限和となっていることを示せば、＜S＞が和で閉じていることを示したことになります。

Σ_x∈Sa_sx + Σ_x∈Sb_sx = Σ_x∈S(a_s+b_s)x

a_s, b_s は有限個を除いて 0 だったので、
a_s + b_s も有限個を除いて 0 となっているため、有限和です。

これで、和で閉じていることが確認できました。

スカラー倍で閉じていることは、ベクトル空間の公理から、すぐに導けれます。

a_s は有限個を除いて 0 なので、
任意の c ∈ K に対して、
c(Σ_x∈Sa_sx) = Σ_x∈S(ca_s)x

a_s は有限個を除いて 0 なので、
ca_s も有限個を除いて 0 だから、有限和です。

このため、
Σ_x∈S(ca_s)x は＜S＞の元です。

これで、無限個の元から成る部分集合 S で生成された＜S＞が、V の部分空間となっていることが証明できました。

ちなみに、S による任意の一次結合で V の零元を表す表し方が自明な表し方しかないとき、部分集合 S が一次独立であるといいます。

※ 自明な一次結合とは、スカラー倍の部分が全て 0 となっている一次結合のことです。

無限集合 S の一次結合である有限和が分かれば、一次独立の定義は、有限次元で学習したときと同じ要領で理解できます。

一次独立の否定が一次従属です。

そのため、S による自明でない一次結合で V の零元を表す表し方が一つでもあれば、S は一次従属ということになります。

ここまでの内容を踏まえ、基底の存在証明を行います。

選択公理の内容を集合論の入門で学習するときに出てくる、Zornの補題を使います。

任意の全順序部分集合系が上に有界であれば、極大元が存在するというタイプの Zorn の補題を使います。

どのような部分集合系に包含関係で順序を定義するのかに注目します。

ツォルンの補題 – 使い方 :基底の存在証明

【定理１】

体 K 上の線形空間を V とする。
ただし、V ≠ {0} とする。

このとき、V には基底が存在する。

＜証明＞

V ≠ {0} なので、V には 0 でない元 x が存在します。

{x} という一点集合は、一次独立です。

そのため、V には一次独立な部分集合が少なくとも一つは存在します。

そこで、S を V の一次独立な部分集合全体とします。そして、包含関係によって、S を半順序が定義された集合系と考えます。

T ⊂ S を任意の全順序部分集合系とします。

T に含まれている V の部分集合たち全てで和集合をとったものを ∪T と表すことにします。

この ∪T が T の S における上界となっていることを示せば、Zorn の補題から、S に極大元が存在することになります。

T の任意の元である V の部分集合は、和集合の定義から、
∪T に含まれているので、
∪T が一次独立であることを示せば良いという状況です。

s₁, … , s_n ∈ ∪T の一次結合で、V の零元 0 が表せたとします。

つまり、
k₁s₁+…+k_ns_n = 0　(k_i ∈ K)

ここで、和集合の定義から、
各 i (i = 1, … , n) について、
W_i ∈ T が存在し、s_i ∈ W_i

T は全順序部分集合系だったので、
1 ≦ i ≦ n について、包含関係について次のような W_j が存在します。

j は 1 から n までのどれかの自然数で、
任意の i (i = 1, … , n) に対して、W_i ⊂ W_j

よって、
s₁, … , s_n ∈ W_j であり、W_j は S の元なので、一次独立な V の部分集合です。

そのため、k₁ = … = k_n = 0

したがって、∪T の一次結合で V の零元を表す表し方が、自明なものしかないことが示せました。

そのため、Zorn の補題から S には包含関係についての極大元 S₀ が存在します。この S₀ が V における極大な一次独立である部分集合です。

後は、S₀ が生成する V の部分空間が、全体 V に一致することを示せば、S₀ が V の基底であるということになります。

全体を生成することの証明

＜S₀＞を S₀ で生成される V の部分空間とします。

ここで、＜S₀＞ ≠ V だと仮定して矛盾を導きます。

＜S₀＞ ≠ V より、＜S₀＞ に含まれていない V の元 y が存在します。

今、S₀ ⊂ S₀ ∪ {y} となっています。

y は S₀ の元ではないので、
S₀ ∪ {y} が一次独立だとすると、S₀ の極大性に反します。

そのため、S₀ ∪ {y} が一次従属ということになります。

S₀ から有限個の元を取ると、それらは一次独立で、y のみだと一次独立ということから、
s₁, … , s_n ∈ S₀ が存在して、
y, s₁, … , s_n が一次従属ということになります。
（ただし、n は、ある自然数です）

一次従属なので、自明ではない一次結合で V の零元を表すことができるので、
ある k, k₁, … , k_n ∈ K が存在して、
k, k₁, … , k_n のうち少なくとも一つは 0 でなく、
ky+k₁s₁+…+k_ns_n = 0 … ★

もし、k = 0 だとすると、
s₁, … , s_n ∈ S₀ は一次独立なので、
k₁= … = k_n = 0 となってしまい、
k, k₁, … , k_n のうち少なくとも一つは 0 でないことに反してしまいます。

そのため、k ≠ 0 となります。

すると、体 K の 0 でない元には乗法逆元が存在するため、
★より、
y = (k^-1k)y =
(－k^-1k₁)s₁+…+(－k^-1k_n)s_n

よって、y が s₁, … , s_n の一次結合で表されています。

これは、y が ＜S₀＞に含まれているということになり、y が＜S₀＞に含まれていなかったことに矛盾です。

以上より、
背理法から、＜S₀＞ = V

これで、S₀ が V の一次独立な部分集合であり、S₀ が V を生成していることも示せました。そのため、この S₀ が V の基底です。【証明完了】

ちなみに、V = {0} だと、0 のみは一次独立にならないので、零元のみからの線形空間については、空集合を基底だと定義します。

もしくは、零元のみの線形空間については基底を定義しないということもあります。

一つの線形空間について、基底が有限個の元から成るときに、基底を構成している元の個数は一定であることを有限次元線形空間について学習します。

この記事では、V の基底が無限集合であったときに、V の基底の濃度が一定であることを証明します。

基底の濃度は一定

【定理２】

体 K 上の線形空間を V とする。
V の基底を {a_i}_i∈I , {b_j}_j∈J とし、J が無限集合とする。
このとき、I と J の濃度は一致する。

I や J などの集合の濃度を、
それぞれ | I |, | J | のように表すことにします。

＜証明＞

基底の定義から、各 i ∈ I に対して、J の有限部分集合 J(i) が存在して、
j ∈ J(i) たちを用いて
a_i = Σ_j∈J(i) x_jb_j と一次結合で一意的に表すことができます。

各 i について、この一次結合で用いた添数集合 J(i) たちすべてで和集合をとります。

∪_i∈IJ(i) が、その和集合です。

もし、この和集合が、J と一致していなければ、t ∈ J － ∪_i∈IJ(i) が存在します。

基底 {a_i}_i∈I の一次結合で {b_j}_j∈J のどの元も表すことができます。

そのため、b_t が ∪_i∈IJ(i) に含まれる有限個の添え字を用いた {b_j}_j∈J の元たちの一次結合で表されることになります。

これは、{b_j}_j∈J が一次独立であることに反します。

そのため、J = ∪_i∈IJ(i) でなければなりません。

よって、| I | も無限ということになります。

また、各 i ∈ I について、J(i) は有限集合だったので、| k | = max_i∈I| J(i) | と置くことにします。

自然数全体を N とすると、有限集合の濃度は、| N | 以下なので、| k | ≦ | N |

すると、次の濃度についての順序が分かります。

今度は、{b_j}_j∈J の各元を {a_i}_i∈I の一次結合で表し、同様の議論をすると、
| I | ≦ | J | が得られます。

よって、ベルンシュタインの定理から、
| I | = | J | となります。【証明完了】

濃度の演算について、一般に成立することを用いました。

J = ∪_i∈IJ(i) でなければならないことを一次独立性から示すところは、有限次元の基底のときと同じ発想です。

ただ、無限集合なので、可算無限の | N | と、無限集合 I の濃度 | I | について、
| I | | N | = | I | となったりすることは、無限集合の濃度だからです。

基底が有限集合のときには、無限集合の今回の濃度算と同じようにいかないところがあります。

有限次のときには、線型空間の公理という記事の最後の段落で、基底の存在を示しています。

一次独立系の濃度が必ず有限にしかならないベクトル空間についての議論になります。

無限次元の具体例

無限次元のベクトル空間の例として多項式が挙げられます。

実数全体 R の元を係数にする多項式全体は、高校の数学で使ってきた加法を考えます。

スカラー倍については、各実数を次のように一斉に実数倍します。

r ∈ R とし、
f(x) = a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀ に対して、
rf(x) = ra_nxⁿ+ra_n-1x^n-1+…+ra₁x+ra₀

これがスカラー倍の定義です。

実数を係数とする多項式全体 R[x] は、これらの和とスカラー倍で実数体上のベクトル空間となります。

{1, x, x², … , xⁿ, … } が基底です。

無限個の元が基底を構成しているので、無限次元です。

一般に自然数 m について、m 次の多項式が存在するために、
{1, x, x², … , xⁿ, … } は無限個です。

これらは、基底という R[x] の特別な部分集合です。

この記事では、基底の存在証明をするのにツォルンの補題を使いました。

極大イデアルの存在証明にもツォルンの補題を使いまして、補題の使い方についての良い練習になるかと思います。

それでは、これで今回の記事を終了します。

読んで頂き、ありがとうございました。