合成関数の微分 | 公式の証明と具体例を用いた練習【自分で公式を導くと暗記量が減】
" 合成関数の微分 “について、公式の証明と具体例を用いた微分の計算について述べています。
合成関数は、数学３で学習しますが、高校一年の段階から実質的に使われています。そのことを利用すると、既に知っているシンプルな例で合成関数の微分を練習することができます。
具体例自体が複雑だと学習しにくいですが、既に知っている例を用いることで、学習の始めの段階のハードルを下げることができます。
実際に合成関数を具体的に公式に当てはめて微分することから学習を始め、慣れてきたら正確な証明の理解へと進むことができます。
自分で公式を導出できるようになると、数３の公式を暗記する量を減らすことができるので、証明まで頑張って理解をしておくと良いかと思います。
合成関数の微分 :単純な例で公式を使う練習
【合成関数の微分の公式】
関数 t = g(x) が、x = a において微分可能であり、関数 y = f(x) が t = g(a) において微分可能であるとする。
このとき、
合成関数 y = (f・g)(a) は、x = a において微分可能であり、
(f・g)'(a) = f'(g(a))×g'(a) である。
いきなり証明から学習をすると、大変そうな雰囲気なので、既に知っている合成関数を例にして、公式を使う練習から始めます。
ある程度、合成関数の微分の公式に慣れてきたら、証明へと学習を進めるようにすると、スムーズに理解ができるかと思います。
高校一年の頃から知っている合成関数を使って、まずは具体的に微分の公式を適用してみます。
高一から知っている例で微分
t = g(x) という微分可能な関数の例として、
t = g(x) = x+1 を考えます。
y = f(t) = t2 という二次関数との合成関数は、平行移動を通じて高一のときから既に知っています。
実数 x を関数 g によって移した値が、
t = g(x) = x+1 で、
この実数 t を f で移した値が y なので、
y = t2 = (x+1)2 となっています。
これが、合成関数 f・g で x を移した値です。
つまり、
y = (f・g)(x) = (x+1)2 です。
y = (x+1)2 のグラフは、頂点が (－1, 0) である放物線で、どの実数においても微分可能な連続関数です。
x = a という実数において、合成関数のとる値は、
y = (f・g)(a) = (a+1)2 です。
微分の公式では、
(f・g)'(a) = f'(g(a))×g'(a) が、x = a における微分係数の値となります。
実数 t について、
f'(t) = (t2)’ = 2t です。
今、t として、g(a) という実数を考えているので、
t に g(a) を代入すると、
f'(g(a)) = 2g(a) です。
実数 x について、
g(x) = x+1 だったので、
x に a を代入すると、
g(a) = a+1 です。
そのため、
f'(g(a)) = 2g(a) = 2(a+1) = 2a+2 となっています。
さらに、g'(x) = (x+1)’ = 1 なので、
g'(a) = 1 です。
よって、
(f・g)'(a) = f'(g(a))×g'(a)
= (2a+2) × 1 = 2a+2 となっています。
これで、合成関数 f・g の x = a における微分係数の値を求めることができました。
ちなみに、導関数を求めたいときは、x = a の a を x にすると、
(f・g)'(a) = 2x+2 です。
この導関数の x に a を代入すると、今、求めた値である 2a+2 となります。
まとめると、
f(t) の導関数に t = g(a) を代入してから、g'(a) を掛けると、合成関数の x = a における微分係数の値となるということです。
※ 定義域-値域という記事で合成関数や逆関数について解説をしています。
今度は、数３の内容も使って合成関数の微分の例を、もう一つ扱います。
二つ目の具体例
(f・g)'(a) = f'(g(a))×g'(a) を数３で扱うサインの微分を使って求める練習をしてみます。
y = f(t) = sin t, t = g(x) = 3x+1 の合成関数を x = a において微分します。
実数 x について、t = 3x+1 が対応しています。
また、実数 t に対して sin t が対応します。
f'(t) = cos t です。これは、サインの微分がコサインとなるという数３で学習する微分の公式です。
この f'(t) の t に代入する値が、
t = g(a) = 3a+1 です。
そのため、
f'(g(a)) = sin(3a+1) となっています。
そして、g'(x) = (3x+1)’ = 3 なので、
g'(a) = 3 です。
g'(a) = 3 を掛けることで、
(f・g)'(a) = f'(g(a))×g'(a)
= sin(3a+1) × 3
= 3sin(3a+1) となります。
f や g の関数が複雑になってくると、公式に当てはめて計算するだけでも大変になってきます。
そこで、ややこしくなったときに、原点に立ち戻れるように、合成関数の微分の公式を証明しておきます。
合成関数の微分 :公式の証明
【命題】
関数 t = g(x) が、x = a において微分可能であり、関数 y = f(x) が t = g(a) において微分可能であるとする。
このとき、
合成関数 y = (f・g)(a) は、x = a において微分可能であり、
(f・g)'(a) = f'(g(a))×g'(a) である。
＜証明＞
関数 g は、x = a で微分可能なので、x = a で連続です。
Δt = g(a+Δx)－g(a) と置くと、
Δx → 0 のとき、Δt → 0 です。
ゆえに、
Δy = (f・g)(a+Δx)－(f・g)(a)
= f(g(a+Δx))－f(g(a)) … (1)
ここで、Δt = g(a+Δx)－g(a) だったので、
f(g(a+Δx)) = f(g(a)+Δt) … (2)
(1) に (2) を代入すると、
Δy = f(g(a)+Δt)－f(g(a)) です。
Δx → 0 のとき、Δt → 0 です。
ここで、十分小さいすべての Δx に対して、
① Δt ≠ 0 か ② Δt = 0 です。
① Δt ≠ 0 のときは、次のように考えます。
①の場合には、公式が証明できました。
②の場合は、
0 = Δt = g(a+Δx)－g(a) なので、
g'(a) = 0 ということになります。
※ x = a における微分係数の分子の値が 0 なので 0 に収束しています。
また、
Δy = f(g(a)+Δt)－f(g(a))
= f(g(a))－f(g(a)) = 0 となっています。
よって、Δy/Δx の分子が 0 なので、
Δx → 0 としたとき、微分係数の値は 0 となります。
よって、(f・g)'(a) = 0
一方、g'(a) = 0 なので、
f'(g(a))×g'(a) = 0 です。
したがって、
(f・g)'(a) = 0 = f'(g(a))×g'(a) となり、命題の結論が②の場合にも成立しています。【証明完了】
注意点
t = g(x) について、
Δt = g(a+Δx)－g(a) を考えました。
Δx → 0 というときに、Δx 自体は 0 ではありません。
そのため、
Δt/Δx の分母は 0 でない状態です。
分子の Δt = g(a+Δx)－g(a) が 0 のときには、
Δx → 0 のときに、Δt/Δx → 0 ということを先ほどの証明で使いました。
このときは、x = a における微分係数の値が 0 ということになります。微分係数の定義に基づく証明問題で、分子が 0 だからということを使うときもあるので注意です。
導いた合成関数の微分の公式と n 乗の微分の発想から、すぐに導ける公式を述べておきます。
すぐに導ける公式
合成関数の微分の公式を導関数の形で表しておきます。
(f(g(x))’ = f'(g(x)) × g'(x) となります。
f の導関数である f’ に g(x) を代入してから、g'(x) を掛けます。
これは、一回微分したときの公式ですが、n 乗の微分も合わせて考えると、次の公式が導けます。n 乗が絡んだときに使える公式です。
y = tn（n は自然数）と、
t = g(x) の合成関数は、
y = {g(x)}n となります。
よって、y’ = ntn-1 なので、
t に g(x) を代入し、g'(x) を掛けると、
y’ = n{g(x)}n-1 × g'(x) となります。
では、n 乗が絡んだタイプの練習問題を扱ってみます。
合成関数の微分 :n乗が絡んだ微分
【練習問題】
y = (3x2+x)4 を x で微分してください。
何と何の合成関数となっているのかを認識することから始めます。
y = t4 と t = 3x2+x の合成関数です。
そのため、dy/dt = 4t3 の t に 3x2+x を代入し、その後で、dt/dx(3x2+x) を掛けるという計算をします。
dt/dx(3x2+x) = (3x2+x)’ = 6x+1 です。
よって、
y’ = dy/dx = dy/dt × dt/dx
= 4(3x2+x)3 × (6x+1)
後は、三乗の展開を使って、
27x6+27x5+9x4+x3 としてから文字式の計算で同類項を整理します。
さすがに、長くなるので、同類項をまとめる部分は省略しておきます。
それよりも大切なのは、y’ と書いたときに、y をどの文字で微分しているのかということを意識することになります。
dy/dt = 4t3 ですが、
dy/dx = 4(3x2+x)3 × (6x+1) と全く異なる式になっています。
y’ が y を t で微分したものか、y を x で微分したものかを区別して認識する必要があるので注意です。
この記事で扱った合成関数の微分ですが、この内容をしっかりと理解して使えるようにしておくと、数３の置換積分の計算に役立ちます。
微分積分学の定理で、x で積分したものを x で微分すると元に戻るという発想と合わせて、積分の単元でも合成関数の微分が力を発揮します。
最後に、分数の指数を微分することについて、合成関数の微分の考え方で公式を導いておきます。
ややこしい微分
【累乗根の微分】
z を正の整数とし、r を任意の整数とする。
このとき、(xr/z)’ = r/z × xr/z-1
＜証明＞
y = xr/z とし、両辺を z 乗します。
yz = xr となります。
u = yz と置き、u を x で微分することを考えます。
yz = xr なので、yz は x に依存する関数です。そのため、yz を x で微分することができます。
また、yz は、y に対して yz を対応させているので、y の関数と考えることもできます。
よって、合成関数の微分の公式が使えます。
du/dx = dyz/dx = dyz/dy・dy/dx … (1)
dyz/dy・dy/dx = d/dy(yz)・dy/dx
= zyz-1・dy/dx … (2)
また、u = xr なので、
du/dx = rxr-1 … (3)
(2), (3) を (1) に代入すると、
rxr-1 = zyz-1・dy/dx となります。
つまり、
dy/dx = (zyz-1)-1 × rxr-1
= r/z × y1-zxr-1 です。
y = xr/z だったので、
dy/dx = r/z × (xr/z)1-zxr-1
= r/z × xr(1-z)/z+(r-1)
ここで、x の指数について、整理します。
合成関数の微分の公式と、指数法則を使って証明を完成することができました。
これで、指数を分数で表してから、今、示した公式を使えば、累乗根の微分を計算することができます。
例えば、x2 の 3 乗根を x で微分してみます。
y = x2/3 に累乗根の微分の公式を使うと、
dy/dx = y’ = 2/3 × x2/3-1
= 2/3 × x-1/3 と計算できます。
ちなみに、x-1/3 = (x1/3)-1 なので、分母が x の 3 乗根となっています。
関連する記事として、二次曲線という記事を投稿しています。
合成関数の微分で接線を求めるということについて解説をしています。
それでは、これで今回の記事を終了します。
読んで頂き、ありがとうございました。