同時分布 | 分かりやすく例を使いながら二つの確率変数が取る値を考える

2023年4月2日

" 同時分布 “では、二つの確率変数XとYが取る値を考えます。

分かりやすい例を使いつつ、
X の値が a で、なおかつ Y の値が b である確率 P(X=a, Y=b) に関する同時分布について解説しています。

そして、二つの確率変数の和についても議論を進めます。なお、XとYそれぞれの分布のことを周辺分布といいます。

今回のブログ記事では、確率変数が二つ出てきます。

確率変数 X と Y について、X が値が a であり、かつ Y の値が b というときの確率を表す記号から説明します。

一般的な記号の説明をした後に、具体的な例題で内容を確認します。

同時分布 :確率P(X=a,Y=b)

X, Y を確率変数とします。X の取る値が実数 a で、かつ Y の取る値が実数 b だとします。

このとき、X = a かつ Y = b である確率を
P(X = a, Y = b) と表します。

ちなみに、X₁, … , X_k と k 個の確率変数があったとき、
X₁ = a₁, … , X_k = a_k である確率を
P(X₁=a₁, … , X_k=a_k) と表します。

このブログ記事では、二つの確率変数 X, Y について、基本的な内容を解説します。

【X の取る値】x₁, x₂, … , x_m

【Y の取る値】y₁, y₂, … , y_n

このとき、P(X = x_i, Y = y_j) という確率を p_ij と表すと便利です。

ちょうど、mn 個の値の取り方があるので、座標平面の座標のようなイメージで、X の値が x_i で、なおかつ Y の値が y_j である確率を考えることができます。

(x_i, y_j) → p_ij という対応が得られました。

この対応が、X と Y の同時分布です。もう少し考察を進めます。

X の値が x_i であったとき、Y の値は全部で y₁ から y_n までの可能性があります。

そのため、X の値が x_i となる確率は、
P(X = x_i) = p_i1+p_i2+…+p_in

同様に、Y = y_j となる確率は、
P(Y = y_j) = p_1j+p_2j+…+p_mj

X, Y のそれぞれについての分布を周辺分布といいます。どちらも確率変数ですので、値を取るときの確率が存在しています。

X = x_i となる確率を p_i とすると、
上の内容と合わせて、
p_i = p_i1+p_i2+…+p_in です。

Y = y_j となる確率を q_j とすると、
同様にして、
q_j = p_1j+p_2j+…+p_mj となります。

ここまで、一般的な記号の説明をしました。文字が多くなっているので、具体的な例で同時分布について解説をします。

例題で確認

【例題】

赤玉 2 個と黒玉 6 個が入っている袋から、A 君が、先に玉を 1 個取り出します。

そして、その取り出した玉を元に戻さずに、B 君が続けて玉を 1 個取り出すということをします。

このとき、A 君が取り出した黒玉の個数を X 、B 君が取り出した黒玉の個数を Y とします。

確率変数 X と確率変数 Y が登場しています。二つ確率変数があるときに、「かつ」という論理を交えて、X と Y の同時分布を考えることができます。

X の値が実数 a となり、かつ、Y の値が実数 b となる確率は P(X = a, Y = b) でした。

A 君が取り出した黒玉の個数が 1 個で、
B 君が取り出した黒玉の個数が 0 個である確率だと、P(X = 1, Y = 0) です。

この確率を求めてみます。

まず起こり得るすべての場合の総数を求めておきます。

A 君が合計 8 個の玉の中から玉を 1 個取り出し、残りの 7 個の玉の中から B 君が 1 個の玉を取り出します。

組合せを考えると、
₈C₁ × ₇C₁ = 8 × 7 = 56 です。

これで、すべての玉の取り出し方である起こり得る場合の総数が 56 通りと分かりました。次に、「A 君が黒玉を 1 個取り出し、B 君が黒玉を取らなかった」という場合が何通りあるのかを求めます。

A 君は黒玉 6 個から 1 個を取り出すので、
₆C₁ = 6 より、6 通りの取り方ができます。

B 君は黒玉を 0 個取り出すということは、赤玉を 1 個取り出したということになります。

A 君の取り出した玉を元に戻さないということから、「赤玉 2 個と黒玉 5 個」となっています。

ここから B 君が赤玉を 1 個取り出したということなので、₂C₁ = 2 より、2 通りの取り方があります。

A 君の玉の取り方 1 通りに対して、B 君の 2 通りの分岐が起こります。

よって、X = 1 かつ Y = 0 となる場合の総数は、6 × 2 = 12 より、12 通りです。
　
ゆえに、
P(X = 1, Y = 0) = 12 ÷ 56 = 3/14

これで、「A 君が黒玉を 1 個取り出し、B 君が黒玉を取らなかった」ということが起こる確率が、求められました。

3/14 が求める確率 P(X = 1, Y = 0) です。

高校一年のときに学習した要領で考えることができました。

この内容を確率変数 X が取るデータの値 x₁, x₂ と、確率変数 Y が取るデータの値 y₁, y₂ を使って、一般的な形でまとめておきます。

一般的な表し方

A 君が黒玉を取り出す個数は、0 個または 1 個です。

そのため、確率変数 X のとる値は、x₁ = 0 と x₂ = 1 の 2 個となります。

B 君についても同様に考えると、
y₁ = 0, y₂ = 1 となります。

先ほど求めた「A 君が黒玉を 1 個取り出し、かつ、B 君が黒玉を取らなかった」という確率は、 P(X = x₂, Y = y₁) となっています。

P(X = 1, Y = 0) を x₂ と y₁ を用いて表しました。

この確率 P(X = x₂, Y = y₁) のことを p₂₁ と表します。

これで、(x₂, y₁) に対応する確率 p₂₁ が定義できました。他の対応をまとめて、一覧にすると次のようになります。

(x₁, y₁) → P₁₁
(x₁, y₂) → P₁₂
(x₂, y₁) → P₂₁
(x₂, y₂) → P₂₂

(x_i, y_j) に対して p_ij を対応させる対応を確率変数 X と Y の同時分布といいます。

今回は、i = 1, 2 と j = 1, 2 だったので、4 パターンの確率の値が考えられます。

より一般的には、
1 ≦ i ≦ m, 1 ≦ j ≦ n という mn 個の確率のパターンとなります。

ここからは、この例をもとにして、確率変数の和について解説します。

同時分布 :確率変数の和

X = x₁ のときに、発生する確率は p₁₁ または p₁₂ です。

和 p₁₁ + p₁₂ を p₁ と置くことにします。

つまり、p₁ = p₁₁ + p₁₂ という新しい値を考えます。x₁ のときなので、左側の添え字が、どれも 1 になっています。

Y = y₂ のときにも、
同様に q₂ = p₁₂ + p₂₂ です。

文字が多くなってきましたが、x_i や y_j は黒玉を取り出した個数という確率変数が取る値のことでした。

そして、p_i は X = x_i となっているときに発生する確率どおしの和です。

q_i は Y = y_i となっているときに発生する確率どおしの和です。

さらに、新しい確率変数 Z を次のように定めます。

X = x_i, Y = y_j のとき、

Z = x_i + y_j　(i, j = 1, 2)

Z の値が x_i + y_j のとき、
X = x_i かつ Y = y_j が起きたときです。

したがって、Z = x_i + y_j となる確率は、p_ij となっています。
　
この状況から、確率変数 X と Y の和の期待値が定義できます。

Z の期待値が X と Y の和の期待値で、

E(Z) = E(X + Y) です。

E(X+Y)の定義

【確率変数の和の期待値】

期待値 E(Z) =E(X + Y) は、
(x₁+y₁)p₁₁+(x₁+y₂)p₁₂
　+(x₂+ y₁)p₂₁+(x₂+y₂)p₂₂

次に、E(Z) = E(X + Y) をE(X) と E(Y) を使って表すことを考えます。

E(Z) = E(X + Y) =
x₁(p₁₁+p₁₂)+x₂(p₂₁+p₂₂)
+y₁(p₁₁+p₂₁)+y₂(p₁₂+p₂₂) … ★と、E(Z) の式をまず変形します。

ここで、
p_i = p_i1 + p_i2, q_i = p_1i + p_2i ( i = 1, 2 ) と置いていたことが役に立ちます。

「X = x_i のときには、Y = y₁ または Y = y₂」となります。

したがって、X = x_i となるときの確率は、
p_i1 + p_i2 です。

そのため、X = x_i となるときの確率は、p_i と等しくなります。

Y についても、同様に考えて、Y = y_i となるときの確率を q_i とすると、
q_i = p_1i + p_2i となります。

よって、これらを★に代入すると、

E(Z) = E(X + Y)
= x₁p₁+x₂p₂+y₁q₁+y₂q₂

ここで、x₁p₁ + x₂p₂ は、確率変数 X の期待値 E(X) です。

そして、y₁q₁ + y₂q₂ は確率変数 Y の期待値です。

よって、E(Z) = E(X + Y) は次のようになります。

【X + Y の期待値】

E(X + Y) = E(X) + E(Y)

さらに、変量の変換と合わせて、拡張しておきます。

実数 a を使って、確率変数 aX を考えます。

aX が取る値たちは、それぞれ a 倍されているので、ax₁ と ax₂ となります。

また、実数 b を使って、確率変数 bY を考えると、取る値たちは同様に by₁ と by₂ です。

aX + bY のことを Z_ab と置くと、上で議論したことと同じ要領で、次を得ます。

ax₁p₁+ax₂p₂ +by₁q₁+by₂q₂
= E(Z_ab)

ax₁p₁ + ax₂p₂ は、
確率変数 aX の期待値 E(aX) です。

そして、by₁q₁ + by₂q₂ は確率変数 bY の期待値 E(bY) です。

すなわち、

ax₁p₁ + ax₂p₂ =
a(p₁ + p₂) = a × E(X) です。

同様に、by₁q₁ + by₂q₂ = b × E(Y)

したがって、次の公式となります。

【aX + bY の期待値】

E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)

これで、よく使われる期待値の公式が導けました。

数学Bで扱われる確率の内容を述べてきました。

関連する内容として、
確率変数の独立という記事を投稿しています。

高校一年のときに学習する確率については、同様に確からしいという記事で解説をしています。

数Bの離散的な確率変数の例として、
二項分布という記事も投稿しています。

今回のブログ記事は、これで終了します。

読んで頂き、ありがとうございました。