ラグランジュの定理 | 位数についての基礎となる内容
" ラグランジュの定理 “という有限群の位数についての基礎となる定理の証明を解説しています。
左からの作用と右からの作用を利用しながら議論を進める内容となっています。
剰余についての基礎的な学習を終えた後、作用を使う練習にも良い内容かと思います。
有限群の部分群と全体の位数についての定理です。
ラグランジュの定理 :準備と証明
G を有限群とし、H を G の部分群とします。
このときに、H から G への右作用を群 G の乗法を用いて定義することができます。
G × H → G を (g, h) に対して gh という G における積を対応させることで、H から G への右からの作用となります。
G の結合律から、群の作用についての定義を満たしています。
ここで、軌道というものを定義します。
g ∈ G として、g を H の右作用で移してできる元全体の集合を考えます。
gH = {gh | h ∈ H} を g を含む H-軌道といいます。
※ e ∈ H は G の乗法についての単位元と一致していて、
g = ge ∈ gH となっているので、g を含んでいる軌道です。
h, h’ ∈ H が h ≠ h’ となっているときに、
gh ≠ gh’ となっています。
作用を考えるときに、右と左の作用を一緒に用いながら議論を進めていくことが多いです。
ラグランジュの定理も、右作用と左作用をどちらも使います。
つまり、
Hg = {hg | h ∈ H} も考えるというわけです。
基礎的な考察
【命題１】
g, g’ ∈ G について、
gH ≠ g’H となっているとする。
このとき、
gH ∩ g’H = Φ （空集合）である。
＜証明＞
背理法で示します。
x ∈ gH ∩ g’H が存在したと仮定します。
このとき、ある h, h’ ∈ H が存在して、
gh = x = g’h’ と表すことができます。
よって、
g = g'(h’h-1) ∈ g’H
そのため、ある s ∈ H が存在して、
g = g’s
すると、
任意の k ∈ H に対し、
gk = g'(ks) となり、
ks ∈ H なので、gk ∈ g’H
k は H の任意の元なので、
gH ⊂ g’H ということになります。
g’ = g(h(h’)-1) ∈ gH でもあるので、
同様にして、
g’H ⊂ g’H
そのため、部分集合の定義から、
gH = g’H
これは、gH ≠ g’H に矛盾します。
ゆえに、背理法から gH ∩ g’H = Φ でなければなりません。【証明完了】
では、いよいよ定理の証明を行います。
ラグランジュの定理の証明
【定理】
有限群 G の部分群を H としたとき、
|H| は |G| の約数である。
＜証明＞
H の元を右から掛けることを、H から G への右作用とします。
g1 ∈ G を 1 つ取ります。そして、g1H という g1 を含む軌道をつくります。
この g1H が全体 G と一致していると、
| G | = |g1H| = | H | となり、
| H | は | G | の約数となります。
そのため、g1H が G に真に含まれているとして、以下の議論を進めます。
このとき、g2 ∈ G － g1H を任意に取ります。
g1H ∪ g2H が G に一致していなければ、
G － (g1H ∪ g2H) から g3 を取るということを繰り返すと、G が有限群なので、有限回の操作で、和集合が全体 G に一致します。
g1H ∪ … ∪ gnH = G となったとします。
各 gi の取り方から、
i ≠ k のとき、giH の中に gk が含まれていないので、
giH ∩ gkH = Φ
※ giH ∩ gkH ≠ Φ とすると、先ほど述べた H-軌道の議論から giH = gkH となってしまい、giH の中に gk が含まれていないことに反してしまいます。
この証明で出てきた n を H の G における指数といいます。
G/H = {g1H, … , gnH} という部分集合の集まりを考えたときに、G/H に含まれている軌道の個数が指数です。
１つの軌道について、さらに考察を進めます。
オービットについても考察
x ∈ giH を 1 つ取ります。
この gi を含む H-軌道から取った元 x で、
x を含む H-軌道を考えると、
xH は、giH に一致します。
このことを、次のようにして示すことができます。
ある h ∈ H が存在して、x = gih と表せます。
この x に右から H を作用させると、
xH = (gih)H = gi(hH) = giH
G における結合律を利用することで、右作用を gi や h からの左作用に切り替えることができることが効いています。
左作用について、fh は全単射です。
そして、H は G の部分群なので積で閉じています。
そのため、
hH = fh(H) ⊂ H であり、
fh(H) の位数と H の位数が等しいことから、
hH = H と結論づけられます。
ここから、ラグランジュの定理を１元生成の部分群について適用して、有限群の元の位数について考えます。
元の位数について
G を有限群とし、g ∈ G とし、
< g > を g を含む G における最小の部分群とします。
自然数 n に対して、g を n 個で積をとったものを gn と表すことにします。
n にマイナスをつけた負の整数 – n については、
g-1 を n 個で積をとったものを g-n と表すことにします。
0 という整数については、G の単位元 e を g0 と表すことにします。
整数全体を Z と表すことにすると、
g を含む G における最小の部分群を < g > としていたので、
{gz | z ∈ Z} ⊂ < g > です。
そして、{gz | z ∈ Z} は gz1gz2 = gz1+z2 となっていることから、G の部分群となっています。
そのため、< g > の最小性から、
{gz | z ∈ Z} = < g > です。
この g で生成される部分群 < g > の位数を元 g の位数といいます。
部分群 < g > の位数について、ラグランジュの定理を適用すると、元 g の位数は G の位数の約数ということになります。
この元の位数は、整数論でファイ関数を考えるときにも重要になります。
最後に、有限群の有限集合への作用に関し、軌道に含まれている元の個数についての基本となる内容を証明します。
オービットの位数と固定部分群
有限群 G が有限集合 X へ作用しているときを考えます。
a ∈ X について、次のように Ga を定めます。
つまり、Ga = {g ∈ G | ga = a}
作用の定義から、
ea = a なので、e ∈ Ga です。
また、g, h ∈ Ga とすると、
(gh)a = g(ha) = ga = a,
a = g-1a となります。
gh, g-1 は a を動かさないので、
gh, g-1 ∈ Ga となります。
よって、a を動かさない G の元をすべて集めた集合 Ga は G の部分群となっていることを示せました。
この Ga を a についての固定部分群といいます。
それでは、軌道に含まれている元の個数についての命題を示します。
もう１つ証明
【命題】
有限群 G が有限集合 X に作用しているとする。
x ∈ X について、x を含む G-軌道 Gx に含まれている元の個数は、固定部分群 Gx の G における指数である。
＜証明＞
x についての固定部分群 Gx を H と置くことにします。
H の G における指数を n とすると、
G = g1H ∪ … ∪ gnH
gi を含む H-軌道 giH のどの元 についても、x の移し先は同じになります。
実際、h, h’ ∈ H とすると、
(gih)x = gi(hx) = gix
すなわち、(giH)x = gix
さらに、k ≠ i のとき、gkx と gix は、異なる X の元になることが、背理法で示されます。
もし、gkx = gix とすると、
(gi-1gk) x = x より、gi-1gk ∈ H となります。
ある h0 ∈ H が存在して、
gi-1gk = h と表せるので、
gk = gih0 ∈ { gih | h ∈ H} = giH
gk = gke ∈ gkH なので、
gk ∈ gkH ∩ giH となり、gkH = giH となってしまいます。
これは、gkH ≠ giH であったことに矛盾します。
よって、背理法から、gkx と gix は、異なる X の元になることが示されました。
以上より、x を 含む G-軌道 Gx は、
g1Hx ∪ … ∪ gnHx
= {g1x} ∪ … ∪ {gnx} = Gx となっています。
したがって、
Gx = { g1x, … , gnx } に含まれている元の個数は、
H の G における指数である
n = |G/H| です。【証明完了】
ちなみに、G から G へ作用で、次のような共役作用というものが定義できます。
G × G → G, (g, h) → ghg-1
この作用についての軌道分解について、位数に関する類等式という等式が成立します。
【関連する他の内容】
一般にラグランジュの定理の逆というものは成立するとは限りません。
例えば、A4の位数は12ですが、位数 6 の部分群は存在しません。
ところが、有限群の位数を素数ベキで割り切ったときについては、
シローの定理から、その位数の部分群が存在します。
それでは、これで今回の記事を終了します。
読んで頂き、ありがとうございました。