二重可移 – 多重可移 | 置換群が可移（推移的）であることを強めた定義
" 二重可移 – 多重可移 “について解説をしています。
置換群が可移であることを強めた内容です。
入れ替え操作に関する定義で、置換群を学習するときに出てくる定義になります。
たった４個の元の並び替えでも、二重可移（四重可移）の例があるので、具体例も使いつつ説明を進めます。
二重可移 :定義を具体例で観察
X = {1, 2, … , n} という異なる n 個の元から成る集合に関して、X から X への全単射をすべて集めたものを S(X) とします。
この S(X) は写像の合成を積として群の定義を満たします。
この S(X) を X 上の置換群（対称群）といいます。
S(X) の各元は、いくつかの互換の積として表すことができます。
互換の積としての表し方は、一意的とは限らないのですが、表すときに用いる互換の個数が、偶数個か奇数個かは、それぞれの置換によって確定します。
S(X) において、偶数個の互換の積として表される置換を偶置換といいます。
この偶置換をすべて集めると、S(X) の部分群となります。
この部分群のことを X 上の交代群といいます。
※ 群の作用という記事で、今回の内容の基礎となることを解説しています。
X に含まれている元の個数が n 個のときに、n 次の置換群というのですが、4 次の交代群を例として取り上げます。
実は、4 次の交代群は、二重可移置換群の例となっています。
それでは、二重可移とは何かということの定義から説明をします。
【定義１】
X = {1, 2, … , n} に関して、S(X) の部分群を G とする。
X の相異なる 2 個の元 a1, a2 と、X の相異なる 2 個の元 b1, b2 に対して、ある G の元 g が存在して、
g(a1) = b1, g(a2) = b2 を満たすとき、G を X 上の二重可移置換群という。
n 次で文字ばかりを使った定義を見ると難しい感じがします。
そこで、具体的に 4 次交代群が、二重可移となっていることを確かめます。
具体例で確認
X = {1, 2, 3, 4} とし、G を X 上の 4 次交代群とします。
a1 = 1, a2 = 2 は X の相異なる 2 個の元です。
b1 = 3, b2 = 4 も X の相異なる 2 個の元です。
G の元 g が存在して、
g(a1) = b1, g(a2) = b2 を満たすのかどうかを確認してみます。
交代群の元なので、全単射であり、なおかつ偶置換でなければなりません。
g(a1) = b1, g(a2) = b2 を満たす偶置換 g が存在するのかどうかを確認することになります。
存在証明ですから、条件を満たす偶置換を具体的に提示したいところです。
求める g となるように X から X への全単射 f を自分で定義することを考えます。
f : X → X で、
f(1) = 3, f(2) = 4 となっていなければなりません。
1 → 3, 2 → 4 という対応が前提です。
その上で、全単射であり偶置換であるように f を定義しなければならないという状況です。
今、1 と 2 の移動先は決まっているので、
X－{1, 2} の元である 3 と 4 の行き先を定義します。
3 の行き先ですが、3 と 4 は既に使ってしまっているので、 1 か 2 となります。
ここで、場合分けをします。
【f(3) = 1 の場合】
f(4) = 2 となります。
つまり、f(1) = 3, f(2) = 4, f(3) = 1, f(4) = 2 です。
巡回置換分解をして、さらに巡回置換を互換の積として表すと、偶置換か奇置換かが分かります。
f = (1. 3)(2, 4) となっていて、偶数個の互換の積として表されたので、f は偶置換です。
これで、f が 4 次交代群 G の元だと分かりました。
条件を満たす G の元 g として、この f を考えれば良いということが分かりましたが、後々の議論のために、もう一つの場合についても観察しておきます。
【f(3) = 2 の場合】
f(4) = 1 となります。
f(1) = 3, f(2) = 4 だったので、
f = (1, 3, 2, 4)
= (1, 4)(1, 2)(1, 3) です。
奇数個の互換の積なので、4 次交代群 G の置換ではありません。
ここまでの考察で、4 次交代群が二重可移であることの証明の糸口が残っています。
n = 4 で具体的に考察するよりも、n が 3 以上のときで一般的に証明した方が、論理的なセットアップがしやすい内容になっています。
二重可移 :n次の偶置換で証明
【定義２】
t を 3 以上の自然数とし、
X = {1, 2, … , t} に関して、S(X) の部分群を G とする。
X の相異なる n 個の元 a1, … , an と、b1, … , bn に対して、ある G の元 g が存在し、
g(ai) = bi (i = 1, … , n) を満たすとき、G を X 上の n 重可移置換群という。
二重可移の定義から、自然と n 重可移も定義したくなります。
この n 重可移について、次の命題を証明します。
4 次交代群が二重可移という命題を一般化した命題となります。
抽象的に眺めると、先ほどの具体例での場合分けの部分の本質的な内容が明確になります。
【命題１】
n を 3 以上の自然数とする。
X = {1, … , n} 上の交代群 G は、
(n－2)重可移である。
＜証明＞
X の相異なる (n－2)個の元 a1, … , an-2 と、X の相異なる (n－2)個の元 b1, … , bn-2 が与えられたとします。
差集合（補集合）を考えて、
X－{a1, … , an-2}
= {cn-1, cn} と置きます。
同様に、
X－{b1, … , bn-2}
= {dn-1, dn} と置きます。
f : X → X を次のように定義します。
1 ≦ i ≦ n－2 のそれぞれに対し、
f(ai) = bi と定義します。
そして、
f(cn-1) = dn-1, f(cn) = dn と定めます。
f による相異なる n 個の X の元の行き先が異なるので、f は単射です。
X が有限集合なので、f(X) = X となり、f は全射でもあります。
ここで、f が偶置換だと、交代群 G の置換によって、相異なる (n－2)個の元がそれぞれ、もう片方の相異なる (n－2)個の元に移すことができるということになります。
そこで、f が奇置換である場合を考えます。
ここで、(dn-1, dn)f という合成置換を g とします。
g は偶置換なので交代群 G の元です。
X－{b1, … , bn-2} という差集合の元が、
dn-1, dn でした。
そのため、
1 ≦ i ≦ n－2 に対し、
(dn-1, dn)(bi) = bi です。
よって、
1 ≦ i ≦ n－2 に対し、
g(ai) = (dn-1, dn)f(ai)
= (dn-1, dn)(bi) = bi となっています。
これで、G が (n－2)重可移ということが示せました。【証明完了】
この命題を n = 4 のときに適用します。
抽象から具体へ
n = 4 のとき、【命題１】より、
4 次交代群は二重可移です。
数学では、具体的に見ているよりも、抽象的に仕組みを捉えにいった方が、明確にプロセスを理解しやすいときがあります。
【命題１】の証明内容を先ほどの例で確認してみます。
a1 = 1, a2 = 2 は X の相異なる 2 個の元、
b1 = 3, b2 = 4 も X の相異なる 2 個の元という状況でした。
4 次交代群で、
f(1) = 3, f(2) = 4,
f(3) = 2, f(4) = 1 でした。
この f は、奇置換だったわけです。
X－{b1, b2} = {d3, d4} と置きます。
差集合の定義から、
d3, d4 は 3 でも 4 でもありません。
そのため、
(d3, d4)(b1) = (d3, d4)(3)
= 3 = b1,
(d3, d4)(b2) = (d3, d4)(4)
= 4 = b2 です。
そして、(d3, d4)f という合成置換は偶置換なので、4 次交代群の元です。
さらに、
(d3, d4)f(a1) = (d3, d4)(b1)
= 3 = b1
(d3, d4)f(a2) = (d3, d4)(b2)
= 4 = b2 です。
偶置換 (d3, d4)f によって、a1 は b1 に移り、a2 は b2 に移っています。
ここまでで、二重可移置換群の例として 4 次交代群について考察をしつつ、n 次交代群が (n－2)重可移であることを証明しました。
ちなみに、n 次対称群 S(X) は、n 重可移となっています。
異なる n 個の元から成る有限集合 X の相異なる n 個の元は、n 以下の相異なる自然数を使って番号づけをすることができます。
n次対称群はn重可移
【命題２】
X = {1, … , n} に関して、
S(X) は n 重可移である。
＜証明＞
X の相異なる n 個の元 a1, … , an と、X の相異なる n 個の元 b1, … , bn が与えられたとします。
1 以上 n 以下の自然数 i について、
f(i) = ai, g(i) = bi と定義します。
f と g は、X から X への全単射なので、S(X) の元です。
群の逆元が逆置換（逆写像）なので、
f-1∈S(X) となっています。
そして、合成置換 gf-1∈ S(X) です。
よって、
gf-1(ai) = g(i) = bi です。【証明完了】
S(X) が n 重可移ということも示すことができました。
n 重可移の定義は、二重可移や一重可移（推移的）の定義を強めたものです。
このことも示しておきます。
条件が強くなったことを確認
【命題３】
t を 2 以上の自然数とし、n を t 以上の自然数とする。
X = {1, 2, … , t} 上の置換群 G が n 重可移ならば、G は X 上で (n－1) 重可移である。
＜証明＞
X の相異なる (n－1)個の元 a1, … , an-1 と、X の相異なる (n－1)個の元 b1, … , bn-1 が与えられたとします。
X－{a1, … , an-1} から任意に元を取り、それを c と置きます。
また、X－{b1, … , bn-1} から任意に元を取り、それを d と置きます。
G は X 上の n 重可移置換群です。
そのため、ある g∈G が存在して、
「X の相異なる n 個の元 a1, … , an-1, c を、それぞれ X の相異なる n 個の元 b1, … , bn-1, d に移す」ことができます。
特に、
1 ≦ i ≦ n-1 について、
g(ai) = bi です。
よって、G は X 上の (n－1)重可移置換群です。【証明完了】
二重可移や、より強い n 重可移についての定義の内容を解説しました。
n = 1 のときは、可移的な置換、もしくは推移的な置換です。
これが、この記事のはじめの方で述べたものになります。
【命題３】より、推移的（可移的）ということを強めたものが n 重可移ということになります。
関連する置換群の記事として、
クラインの四元群という記事を投稿しています。
では、これで今回の記事を終了します。
読んで頂き、ありがとうございました。