ベクトル空間の公理 | 定義と思うと気分が楽に【線型代数学】
ベクトル空間の公理 , もしくは定義から、大学数学で線形代数学を学習するときに、集合の考え方が基本の１つとなります。
公理は定義と思っておくと気分が楽かと思います。
高校数学で論理と集合を学習しますが、さらに大学数学で使われる集合は、さらに少し細かい技法を追加されているという感じです。
公理は、結構長いので、はじめて私が見たときには、内容が把握しにくかったです。
当時、打開策として、シンプルな具体例を通じて、定義を満たすかどうかを具体的に確認したことが理解への近道となったと思います。
そのため、このブログでは、線形空間（ベクトル空間）の公理（定義）を見て、どういうところに体や集合が使われているかを解説しています。
少しでも、線形代数学を学習するときにお役に立てれば幸いです。
ベクトル空間の公理に、体が使われています。ややこしそうだと思ったら、高校の数学でベクトルをスカラー倍していた実数全体だと思ってください。
同じ様に、加減乗除ができるのが体です。
ベクトル空間の公理 :体そして集合
線形代数のことを線形空間やベクトル空間といいます。
大学や専門学校の講義によって、どの言葉が使われているのかを確認して、それに合わせてレポートなどを作成するのが良いかと思います。
いずれにしても、表している内容は同じです。
公理に体が登場
Kを実数全体か、複素数全体から成る集合(体)とします。より一般的には、Kは体(たい)という四則演算が可能なものです。
この体や次に書く線形代数は、どちらも、集合です。
線形代数は、集合という集まりに、さらに加法という二項演算が定義されていて、体からのスカラー倍も定義されています。
線形代数（ベクトル空間）の公理です。
【線形代数の公理（定義）】
空集合ではない集合Vが線形代数であるとは、次を満たすことです。
①和という二項演算が定義されている
V×V → V という写像(関数)のことを二項演算と呼びます。
( x , y ) に対して x+y というVの要素(元)を対応させる写像の対応規則が与えられているということです。
②スカラー倍が定義されている
K×V → V という写像(関数)のことをスカラー倍といいます。
( k, x ) に対して kx というVの要素(元)を対応させる写像の対応規則が与えられているということです。
これらの演算について、次の③から⑦が成立します。
③加法の結合法則
(x+y)+z = x+(y+z)
④加法の交換法則 x+y = y+x
⑤零元の存在
0∈Vが存在して、
どんな x∈Vに対しても 0+x = x
⑥逆元の存在
Vの各要素(元)xに対して,
a∈Vが存在し、x+a = 0
⑦次のように加法とスカラー倍が関係
k(x+y)=kx+ky
(k∈K, x, y∈V) ,
(a + b)x = ax + bx
(a,b∈K, x∈V),
(ab)x = a(bx) (a,b∈K, x∈V),
1x =x
(1はKの積に関する単位元で x∈V)
これら①から⑦の線形代数の公理を満たすものを線形代数(空間)といいます。
また、線形代数(空間)の各要素(元)のことをベクトルといいます。
そのため、線形空間のことをベクトル空間ということもあります。
※たくさんの条件がありますが、定義です。これらに当てはまるかどうかとシンプルに思っておくと心理的な負担が軽くて良いかと思います。
具体例
ベクトル空間についての具体例は、実は中学数学や高校数学の段階から学習をしています。
R は実数全体から成る集合です。
R × R ={(a, b) | a, b∈R} はベクトル空間です。
この R × R は、中学数学で学習した xy 座標平面です。
そして、ベクトルの加法とスカラー倍を高校数学で学習します。
(a, b) + (c, d) =(a + c, b + d) でした。
これが、R × R における加法です。
そして、スカラー倍は、
k(a, b) = (ka, kb)
このように、加法とスカラー倍を定義すると、
R × R は、実数体 R 上のベクトル空間の公理（定義）に当てはまります。
このスカラー倍に関わってくるものが体 (field) です。もちろん、この具体例のようにスカラー倍を受ける方の集合に、体が使われることもあります。
しかし、混乱せずに、ベクトル空間としての加法の定義と、スカラー倍の定義を正確に確認することから学習のスタートになります。
体の定義について
さらっと体(field)について、ベクトル空間の公理で使いましたが、体にも定義があります。
線形代数学を学習し始めたときは、四則演算ができて、ベクトル空間へスカラー倍という作用をするものと思っておけば十分です。
ただ、あまり体について深入りをすると、複雑なので、ベクトル空間の公理で成立すると分かっていることを足掛かりにして議論を進めていくと良いかと思います。
※ 体の公理（定義）については、直積集合というブログに書いています。
ちなみに、スカラー倍ですが、正確には次のような直積 K × V から V への対応で、ベクトル空間の公理の条件を満たすもののことになります。
K × V → V で、(k, v) ∈ V に対して、
kv ∈ V を対応させています。
この対応で、ベクトル空間の公理に書いてある条件をすべて満たすものということです。
個々のベクトル空間について、このスカラー倍の定義は様々です。
ベクトル空間の学習をするときには、体からのスカラー倍の定義がどうなっているのかを正確に確認しておくことが大切になります。
ベクトル空間の公理 :定義から導かれる内容
先ほど述べたベクトル空間の公理（定義）から、すぐに導ける内容で、よく使われるものを証明しておきます。
公理から直接すぐに導かれる内容なので、ベクトル空間の公理を満たすものについて、必ず成立する内容ということになります。
そのため、線形代数学を学習していく上で、数学的な常識となる内容になります。
以下において、体 K 上のベクトル空間 V として議論を進めます。
ベクトル空間の零元とスカラー倍
体 K の元のことをスカラーと呼びます。ベクトル空間の零元を 0V と表し、体 K の零 0K と区別をして認識することに慣れることが理解の近道となります。
私が大学に入学したときに、この区別を意識せずに線形代数学の本を読み、すぐに内容が混乱しました。
このような無駄な遠回りをしないように、ベクトル空間の零と体の零を区別しておくことがオススメです。
証明すべきこと[1]
【命題１】
k ∈ K, 0V ∈ V について、k0V = 0V
＜考え方のポイント＞
この命題1の内容は、ベクトル空間の零元をスカラー倍しても、その結果は零元のままということです。
＜証明＞
0V = 0V + 0V なので、両辺を k ∈ K でスカラー倍をしたときの値は同じになります。
よって、k0V = k(0V + 0V)
この右辺にベクトル空間の公理⑦を適用すると、
k0V = k0V + k0V となります。
左辺と右辺は、ベクトル空間 V の元として等しいので、－k0V と加法を計算した結果は、左と右で同じ元となります。
ゆえに、
－k0V + k0V
= (－k0V + k0V) + k0V
ここで、加法についての逆元の定義である公理⑥から、－k0V +k0V = 0V
※公理では、a と逆元のことを書いていますが、実際は前に「－」をつけて、加法に関する逆元を表します。
ゆえに、0V = 0V + k0V となります。
さらに零元の定義である公理⑤を右辺に適用すると、零元と加法をとっても値が変わらないので、0V = k0V となります。
これで、導きたかった結論に到達しましたので、証明が完了です。
ベクトル空間の公理で、既に成立していることが確認されている内容だけで導いた命題1なだけに、ベクトル空間だと必ず成立する事柄になります。
証明すべきこと[2]
【命題２】
0K ∈ K, v ∈ V に対し、0Kv = 0V
＜命題の意味＞
今度は、体 K の零元でスカラー倍をすると、結果は必ずベクトル空間の零元となるという内容です。
これも、ベクトル空間の定義から導かれます。
＜証明＞
0K = 0K + 0K なので、
0Kv =(0K + 0K)v = 0Kv + 0Kv となります。
左辺と右辺に、－0Kv を加えると、
－0Kv + 0Kv
= (－0Kv + 0Kv) + 0Kv
よって、左辺の値は 0V となるので、
0V = 0V + 0Kv = 0Kv【証明完了】
中辺をクッションにして、右辺と左辺が等しいことが導かれました。
もう一つ、ベクトル空間論で基本となる内容を証明しておきます。
零元の存在は、ベクトル空間の公理によって保証されていますが、その零元は、一つのベクトル空間に一つしか無いという内容です。
難しい数学の言い方をすると、零元の一意性といいます。
条件を満たすものが一つしか存在しないということをどのように証明すると良いのかということを押さえておくと、大学数学の学習が円滑になるかと思います。
※ 一意性については、リンク先のブログ記事で、詳細ついて説明をしています。
ベクトル空間の公理 :零元は唯一無二
体 K 上のベクトル空間 V の零元 0V は、他の V の元は零元ではありません。このことを次のようにして証明します。
u ∈ V が、公理⑤の零元の性質を満たしたとします。そうすると、この u は必ず先ほどから書いている 0V と一致することを示します。
これが示されると、公理⑤を満たす V の元は、必ず 0V であるということになります。そのため、V の元で公理⑤を満たすものは 0V のみということになります。
では、方針が立ったので、公理⑤を満たす u ∈ V が 0V に一致することを示します。
公理⑤より、u + 0V = 0V となります。
一方、ベクトル空間における加法は、交換可能なので、0V + u = u + 0V
0V も零元なので、この左辺の値は、u となります。
以上より、u = u + 0V = 0V
これで、公理⑤を満たす u ∈ V は、0V と一致することが証明されました。
先ほど上で述べたように、公理⑤を満たす V の元が存在したとすると、必ず 0V に一致することから、零元は一つしかないということが証明できました。
一意性の証明は、大学数学で、しばしば出てくるので、早い段階で代表的な証明に慣れておくと良いかと思います。
体の積と単位元のスカラー倍
1 ∈ K からの作用についての基本的な内容も述べておきます。公理で、v ∈ V に対して、1v = v でした。このことを利用すると、次の内容が証明できます。
【命題３】
－1 ∈ K, v ∈ V に対して、(－1)v = －v
＜命題の意味＞
この命題は、体 K の －1 で v をスカラー倍すると、v の V における加法についての逆元となるということです。
＜証明＞
1v = v なので、
v + (－1)v = 1v + (－1)v
ベクトル空間の公理⑦より、
1v + (－1)v = (1 － 1)v = 0Kv = 0V
※ 一番右の等号は、命題2より
よって、v + (－1)v = 0 なので、
(－1)v は v の加法についての逆元です。
そのため、(－1)v = －v が示せました。
無限次元の具体例
無限次元のベクトル空間の例として多項式が挙げられます。
実数全体 R の元を係数にする多項式全体は高校の数学までで使ってきた加法を考えます。スカラー倍については、各実数を次のように一斉に実数倍するというものです。
r ∈ R とし、
f(x) = anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 に対して、
rf(x) = ranxn+ran-1xn-1+…+ra1x+ra0
これがスカラー倍の定義です。
実数を係数とする多項式全体 R[x] は、これらの和とスカラー倍で実数体上のベクトル空間となります。
少し専門用語を使いますが、次の無限個の元たちの R 状の一次結合で、どんな多項式も表せることから、無限次元となっています。
{1, x, x2, … , xn, … } が基底となっています。無限個の元が基底を構成しているので、無限次元です。
たとえば、4 次の多項式だと、
a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0 というように、a4 から a0 を実数として x4 から 1 までの一次結合として表すことができます。
一般に自然数 m について、m 次の多項式が存在するために、
{1, x, x2, … , xn, … } は無限個です。これらは、基底という R[x] の特別な部分集合です。
基底についての内容を詳しく学習するのは、線形代数学のベクトル空間論の内容になります。
ただ、中学や高校の数学で、既に無限次元のベクトル空間の具体例を知っているということを心に留めておくと気分が楽になるかと思います。
ベクトル空間 V において定義されている加法（和）とスカラー倍について閉じているのが部分空間です。
ベクトル空間（線形代数）を学習していくときの基礎となる考えの一つになります。
部分空間の定義にもう少し条件をつけ加えた不変部分空間というものも合わせて理解できるので、ベクトル空間の公理から部分空間の理解へつなげると良いかと思います。
また、始集合と終集合が同じになっている線形写像のことを線形変換といいます。
End(V)という記事で、線形変換どうしの和や線形変換のスカラー倍について解説をしています。
今回、抽象的なベクトルについての内容を述べました。
高校の数学でも、抽象的なベクトルが使われていて、
連立漸化式の解法などに、実数列が実数体上のベクトル空間となっていることが関わっています。
読んで頂き、ありがとうございました。
これで、今回の記事を終了します。