中間値の定理【使い方】いつ使うか|典型例で練習を積み磨きます！
" 中間値の定理 “の使い方を高校の数学IIIでの典型的な例を用いて解説します。
中間値の定理は、いかにも連続な関数らしい定理です。
具体例で練習を積むことで、「これは平均値の定理じゃなく中間値の定理！」と使い方が研ぎ澄まされます。
関数のグラフが連続だということを意識することが大切になる定理です。
定理は難しそうですが、関数のグラフが連続で、つながっていることをイメージすると、使い方が見えてきます。
中間値の定理 :数IIIでの使い方
【中間値の定理】
実数値関数 f は閉区間 [a, b] で連続だとする。
そして、この区間における f の最大値を M, 最小値を m とする。
M ≠ m ならば、m < k < M である任意の実数 k に対して、
閉区間 [a, b] 内の点 c が存在し、
f(c) = k となる。
これが、中間値の定理です。
定理の結論以外の内容に当てはまる状況が出てきたら、定理を使うチャンスです。
具体的な連続である実数値関数で、定理を使ってみると、理解が深まるかと思います。
典型例で確認
f(x) = sin x + xcos x + 2 とする。
この連続関数は、閉区間 [0, π] 内のある点 c において、
f(c) = 0 となる。
この関数 f は連続関数で、
閉区間 [0, π] における議論です。
この区間において、f(0) = 2,
f(π) = －π + 2 となっています。
つまり、
連続関数 f は、[0, π] という閉区間において、
－π + 2 から 2 までの値を必ずとるということになります。
実は、閉区間において定義されている関数は、必ず最大値と最小値をとるという「連続関数についての定理」が背後にあります。
※ この証明は、大学数学の内容になります。
そのため、
[0, π] における最小値を m,
最大値を M とおくと、
m ≦ －π + 2 < 2 ≦ M となっています。
そのため、中間値の定理の k として、
m < k = 0 < M を考えることができます。
よって、中間値の定理から、
[0, π] 内のある点 c において、
f(c) = 0 となります。
この中間値の定理を使った内容を、もう少し丁寧に述べます。
f は連続なので、値域において、
－π + 2 から 2 までの値を必ずとるため、
その間にある 0 という値をどこかでとることになるというわけです。
ここで、連続なつながっているグラフをイメージすると理解の手助けになります。
π は約3.14 なので、
f(π) = －π + 2 は負の実数です。
f(0) = 2 は正の実数です。
そして、f(x) のグラフは連続関数なので、
値域において、
－π + 2 から 2 までの値をすべて取ります。
そのため、特に 0 という －π + 2 と 2 の間にある値を必ず取っているということになります。
（縦軸の －π + 2 以上 2 以下の値を、連続関数だから全て取るという値域におけるイメージが大切になります。）
f(x) のグラフの概形は不明ですが、
f(c) = 0を満たす実数 c が、閉区間 [0, π] の範囲内に存在するということになります。
※ 中間値の定理を証明するには大学の数学内容を使います。
中間値の定理ですが、ロルの定理と似ています。
【ロルの定理】
実数 a, b が a < b だとする。
関数 f(x) が閉区間 [a, b] で連続、開区間 (a, b) で微分可能とする。
このとき、
f(a) = f(b) ならば、「f'(c) = 0, a < c < b」を満たす実数 c が存在する。
違いを見るためにロルの定理を使った内容を述べておきます。
他の定理との違いを確認する
【定理の違いを認識】
f(t) = t1/3(1－t) について、
f'(c) = 0, 0 < c < 1 を満たす実数 c を求めてください。
f(t) は閉区間【0, 1】で連続で、
開区間 (0, 1) で微分可能です。
そして区間の両端で、
f(0) = f(1) =0 と等しい値をとっています。
典型的なロルの定理を使うチャンスです。
ロルの定理から、
f'(c) = 0, 0 < c < 1 を満たす実数 c が存在することが分かります。
この c の値を求めるという内容になります。
ここからは、0 < t < 1 という範囲で議論をします。
f'(t) = 1/3×t－2/3(1－t)－x1/3 です。
0 < t < 1 の範囲なので、t－2/3 は 0 でないため、分母に置くことができます。
c の値を具体的に求めるために、f'(t) を通分を使って見やすい形にします。
0 < t < 1 の範囲で、
f'(t) = 0 とすると、
t2/3を両辺に掛けることで、分子の値が 0 となっていなければならないことが分かります。
つまり、1－4t = 0 です。
これは、t = 1/4 ということです。
逆に c = 1/4 は、0 < c < 1 で、
f'(c) = f'(1/4)
= 0/3t2/3 = 0 となっています。
よって、この 1/4 が求める値です。
ロルの定理の仮定の一つは、
「a ≦ x ≦ b という範囲を定義域とする連続関数 f(x) について、両端点で関数のとる値が等しくなっている」ということです。
ここを中間値の定理との使い分けとして押さえておくと良いかと思います。
【数学IIIの記事】
※ これらの定理の証明は、リンクを辿ると大学の内容を使った証明に辿り着くようにしています。
今回の記事で述べた中間値の定理も、これらの定理と同じく厳密な証明を高校の範囲では習わないものになります。
それだけに、使いこなすためには、典型例で練習を積むということが大切になります。
この状況では、「平均値の定理じゃない、中間値の定理だ」と確信できるようになるには練習！
※ ロルの定理の証明は、この記事で述べています。
ただし、やみ雲に練習するのではなく、関数のグラフが連続でつながっているということをイメージしながら定理を使うことが重要になります。
グラフがつながっているということを意識しながら、適切に中間値の定理を適用することで、どんどん定理の使い方への理解が深まってくるかと思います。
読んで頂き、ありがとうございました。
それでは、今回のブログ記事を終了します。