分数指数 latex | ルートをつけるコード入力【計算規則と命令文】

2023年12月11日

" 分数指数 “に関連したルートをつけるためのコード入力について解説をしています。

ルート 2 など、ルートをつける命令文に、少しの変化をつけることで 3 乗根などの記号を出力することができます。

latex（ラテフ）における数式を出力するためのコードの入力と合わせて、指数が分数のときの計算について、具体例を用いつつ説明を進めます。

大学の数学科では、ラテフを用いての数式の出力を学習するときもあるので、計算規則と合わせて、コードの入力に慣れておくと良いかと思います。

なお、x⁵ = 2 などの解について、2 の 5 乗根などの累乗根は、正の実数として議論を進めることとします。

分数指数 :コード入力

今回の記事で説明する三つの内容です。

まずは、①のルートをつけるための latex の命令文となるコードについてです。

そのコードに少しの内容を付け加えることで、②のような累乗根を出力することができます。

さらに、指数計算についての計算規則と、プログラミングでよく出てくるネスト構造の考え方から、③のような実践的な入力について説明します。

では、①のルートをつけるということについてのコードから説明します。

□ が 2 のときは、
$\sqrt{2}$ で、2 にルートがつきます。

ラテフでは、地の文と数式を区別するために、＄（ドルマーク）を二つで挟み、その間に出力する数式を指定するコードを入力することになります。

$2$ で、数式としての 2 が出力されます。

その 2 にルートをつけるために、\sqrt{} をつけます。

{と}で囲まれている式全体にルートがつきます。

なお、{と}の部分は、一文字とは限りません。

例えば、213 にルートをつけるときは、
$\sqrt{213}$ と入力します。

次に、このルートをつけるという内容を基本として、累乗根を出力するためのコードについて説明をします。

分数指数が絡むルート

先ほどの②だと、2 の 5 乗根となります。

x⁵ = 2 の正の実数解となります。

この 5 乗根のときは、
$\sqrt[5]{2}$ とコードを入力します。

$\sqrt{2}$ という 2 にルートをつけるというコードと見比べると少しの付け足しで、累乗根が出力されていることが分かります。

5 乗根を出力したいので、
[5] を \sqrt の後に付け加えています。

2 の 3 乗根を出力したいときだと、
$\sqrt[3]{2}$ となります。

$\sqrt[7]{2}$ だと、2 の 7 乗根が出力されます。

より一般的に、自然数 n について、
2 の n 乗根を出力するには、
$\sqrt[n]{2}$ となります。

これで、n 乗根の出力方法が分かりました。

latex は数式を入力することを目的に作られています。

そのため、数学の計算規則と馴染みます。

より複雑な数式を出力するために、高校の数IIで学習する指数の計算について述べておきます。

計算規則と入力規則の合わせ技で、自在に累乗根を使った数式を操ることができます。

分数指数 :計算規則について

2 の 5 乗根は、分数指数を用いて表すことができます。

2^1/5 が 2 の 5 乗根です。

分子を 1 とし、分母を 5 とする分数を指数に位置に記すと 5 乗根です。

この分数指数を用いると、指数法則と合わせて、式の変形ができます。

【指数法則】

(x^a)^b = x^ab は a や b が分数のときにも使えます。

底 x が同じ正の実数のとき、a や b に分数がきても、この指数法則に基づいて計算を進めることができます。

(2³)^1/5 = 2^3×1/5 となります。

指数の部分は掛け算を計算して、これ以上は約分ができない分数として表せます。

そのため、
3×1/5 = 3/5 として、
(2³)^1/5 = 2^3/5 と表すことができます。

計算の良いトレーニング

分数指数の計算に慣れるということで、数II の復習になるのが数Iの計算分野で扱われています。

高校に入学した一年の始めの方の計算内容は、数IIの分数計算の良い練習になります。

二重根号の外し方を分数指数を用いて、指数法則に基づいて計算を進めることで、ルートの中にルートがあるという状況に慣れることができます。

二重根号が外せると確信できる根拠が指数法則を適用したときに、指数が整数になることです。

この二重根号から、さらに累乗根の中に累乗根があるという数II以降の数学の内容へとつながります。

高校に入学して一学期くらいのときには、計算の練習ということになりますが、実はプログラミングで頻出の構造と関わってきます。

それが、次に述べるネスト構造です。

様々なプログラミング言語で、学習をし始めた頃にネスト構造が出てきます。

この発想と数学の計算規則で、相乗効果を得て、さらに実践的な入力へと進めます。

分数指数 :ネスト構造

ネスト構造というのは、一つの構造の中に、他の構造が入り込むことです。

入り子構造ともいわれたりします。

他の構造と述べましたが、同一の構造が入り込むこともあります。

高校一年の二重根号は、ルートの構造の中にルートの構造が入り込むというネスト構造の例です。

このネスト構造を、コードで見てみます。

$\sqrt{□}$ だと、□にルートが付くという内容です。

この□の部分に、さらにルートが使われているという状況を考えます。

3+2^1/2 が□に部分に置かれると、
(3+2^1/2)^1/2 となります。

二重根号をコードで表してみます。

$\sqrt{3+\sqrt{2}}$ となります。

$\sqrt{□}$ というルート出力構造の□の部分に、
3+\sqrt{2} というルート出力の構造が入り込んでいるという状況です。

このネスト構造と指数法則を合わせて、残りの③の内容について説明します。

ルートの中のルートと分数

数学IIの指数計算から説明します。

その後で、その内容を出力するコードについて述べます。

③の内容は、「2 の 3 乗根」の 5 乗根という内容です。

累乗根の命令文の構造の中に、累乗根の命令文の構造が入り込んでいるというネスト構造です。

分数指数を用いると、
(2^1/3)^1/5 となります。

ここで、指数法則を適用します。

(2^1/3)^1/5
= 2^1/3×1/5
= 2^1/15 となります。

これは、2 の 15 乗根ということを意味しています。

x¹⁵ = 2 の正の実数解ということになります。

分数指数にして指数法則を適用することで、累乗根の中に累乗根があるという状況から、2 の 15 乗根という捉えやすい状況へと書き換えることができました。

では、この高校の数IIの計算内容を出力するコード入力について説明します。

コードの中にコード

「2 の 3 乗根」の 5 乗根という内容を表す累乗根の中の累乗根のコードです。

$\sqrt[5]{\sqrt[3]{2}}$ となります。

\sqrt[5]{□} が□の 5 乗根で、
□の部分に \sqrt[3]{2} ということです。

さらに、指数を出力するコードと合わせて指数の出力コードです。

$x^{△}$ だと x^△ が出力されます。

この△が、分数というネスト構造を考えます。

△/□ という分数の出力は、
$\frac{△}{□}$ となります。

そのため、2^1/3 という底 2 で指数が 1/3 の分数指数の数を出力するコードは、次のようになります。

すなわち、
$x^{\frac{1}{3}}$ です。

$x^{△}$ の△の部分が、
\sqrt{1}{3} ということです。

さらに、ネスト構造を考えます。

(2^1/3)^1/5 を出力するコードです。

$(2^{\sqrt{1}{3}})^{\sqrt{1}{5}}$ となります。

$x^{△}$ の△の部分が、
\sqrt{1}{5} で、
x の部分が、
2^{\sqrt{1}{3}} となっています。

ネスト構造について大枠を把握し、細部に適したコードを入力しました。

最後に、
2^1/3×1/5 の出力コードです。

掛け算の記号は、\times となります。

$2^{\frac{1}{3}\times \sqrt{1}{5}}$ となります。

$x^{△}$ の△の部分が、
\frac{1}{3}\times \sqrt{1}{5} となっているわけです。

{} の指数の部分が、数学の計算で使う括弧のように、どの部分かを表していると考えると、計算をしている要領で自然とコードが入力できます。

指数の出力、分数の出力、ルートの出力という内容を合わせて、実践的な数式の入力について解説をしました。

noteで数式を入力するときは、数式の命令文の部分を表すことを通常のlatexとは若干異なります。

$${・}$$ で数式を表す命令文となっています。

これを $・$ というドルマーク二つで挟むように書き換えると、latex の数式の命令文となります。

先ほどネスト構造を扱いましたが、中学で学習する漢文でもネスト構造が使われています。

返り点という記事で漢文と合わせて行列の出力についても解説をしています。

note でも数式を入力することができまして、それについて少し触れておきます。

noteでの数式入力

note で入力するときに、若干のちがいもありまして、note 用の入力について述べておきます。

文章の途中で数式を入力するのがインライン数式です。

x³ のように、文章の中に数式を混入することができます。

この「x の三乗」ですが、文章の途中で＄＄{x^3}＄＄と入力すると、文章の中に出力されます。
※ 数式にならないように全角で＄と書きましたが、実際は半角英数字です。

＄＄{数式}＄＄ の {数式} の部分に、出力したい数式のコードを入力します。「x の三乗」のように、右肩の指数の位置に □ を出力したいときには、
x^{□} と入力します。

^{□} が、右肩の指数の位置に □ を出力するようにする命令文です。

□ の部分に、指数の位置に出力したい数式を書きます。

数列でお馴染みの a_n のような右下に書く添え字も表せます。

ちなみに、右下の添え字を出力させたいときには、
＄＄{a_{n}}＄＄
「_{□}」とします。

同じく □ の部分に出力したい数式を書きます。

^{□} にせよ、_{□} にせよ、□ が 3 や n のような一文字のときには、{ 括弧} をつけなくても、x^3 や a_n で出力されます。

しかし、より長い数式を □ の部分に書くときには、{括弧} をつけます。

tex の命令文では、よく「￥」をつけます。

note 記事に入力するときには、バックスラッシュ「＼」を入力します。
※ ￥もしくはバックスラッシュは半角英数字で入力します。

ディスプレイ数式について

このディスプレイ数式は、段落ブロックを一つ用意して、その中に数式だけを入力します。

次のように入力をすると、数式だけの段落ブロックができます。

分数の命令文「＼frac{分子}{分母}」で、分数の式が出力できます。

「通常の行の中では、分数は上下に大きい」などと思ったときに、ディスプレイ数式で表示するというのも手です。

割り算の記号と分数をどちらも使うことも多いかと思いますので、割り算の出力についても述べておきます。

3/5 = 3 ÷ 5 = 0.6
＼frac{3}{5}=3＼div 5=0.6

「÷」の記号は「＼div」です。

また「×」は「＼times」で出力できます。

注意点ですが、「＼div 5」というように、＼div と 5 の間に半角のスペースを入れないとエラーになります。
※「＼times」についても同じく半角スペースを入れてから、数式を続けます。

それでは、これで今回の記事を終了します。

【他の記事たち】

■ 真数と底

■ 指数方程式

■ ロルの定理

読んで頂き、ありがとうございました。