群拡大 | 完全列の定義を把握することから始め、その特殊な短完全列の定義を押さえます！

2023年6月30日

" 群拡大 “の定義には、短完全列の定義が使われています。短完全列は、完全列の特殊なものです。

そのため、群についての完全列の定義を把握することから学習をスタートさせます。画像の群準同型写像の列が完全列です。

群論の入門的な内容について、完全列などを使わなくても良い場面で、群拡大の言葉で説明がなされるときもあるかもしれません。

そうしたときに、表面的な言葉の定義を知らないために群論の学習が止まるということがないように、基礎的な群拡大についての内容を説明しています。

定義を押さえた上で、群についての準同型写像について考察を進めていくと、群拡大に辿り着きます。

群拡大 :完全列の定義から

f_i:Gi → G_i+1 (i は整数）という準同型写像の列について、どの i についても次が成立しているときに完全列といいます。

■ 各 i について、Im f_i = ker f_i+1

つまり、G_i → G_i+1 → G_i+2 について、
Im f_i = ker f_i+1 となっているということです。

f_i:G_i → G_i+1 についての像が Im f_i です。

Im f_i = f_i(G_i) = {f(x) | x∈G_i} は、G_i+1 の部分群になっています。

f_i+1:G_i+1 → G_i+2 についての核が ker f_i+1 です。

e_i+2 を G_i+2 の単位元としたとき、
ker f_i+2 = {y∈G_i+1 | f_i+1(y) = e_i+2} で、G_i+1 の正規部分群になっています。

群準同型写像についての核が正規部分群になることは、群についての準同型定理を学習するときに出てきます。リンク先の記事で、この内容を解説しています。

そのため、この記事では、群準同型写像の像が部分群になっていることの方だけを証明しておきます。

集合論の入門的な内容で学習する像の定義と、部分群についての基礎的な判定方法を使って、準同型像が部分群になっていることを証明します。

群準同型像は部分群

【命題１】

f_i:G_i → G_i+1 について、
Im f_i は G_i+1 の部分群である。

＜証明＞

G_i の単位元を e_i、G_i+1 の単位元を e_i+1 と表すことにします。

任意の x, y∈Im f_i に対して、像の定義から、ある a, b∈G_i が存在して、
f_i(a) = x, f_i(b) = y となります。

yf_i(b^-1) = f_i(b)f_i(b^-1) =f_i(bb^-1)
= f_i(e_i) = e_i+1 となることから、
y^-1 = f_i(b)^-1 = f_i(b^-1) です。

そのため、
xy^-1 = f_i(a)f_i(b^-1)
= f_i(ab^-1)∈{f_i(x) | x∈G_i} = Im f_i

よって、部分群の判定方法より、
Im f_i は G_i+1 の部分群です。【証明完了】

※ 写像の像と逆像というブログ記事で、今の証明で使った像の定義について解説をしています。

集合論の入門の内容から完全列の定義を押さえることができました。次は、短完全列という完全列の特殊なタイプについて説明します。

群拡大 :短完全列について

【短完全列】

e → G₁ → G₂ → G₃ → e
G₀ と G₄ は単位群で {e} という単位元のみの群です。

短完全列を初めて見ると、特殊な記号の使い方なので、混乱をするかもしれません。しかし、ただ、大雑把に略記しているだけなので、ご安心ください。

単位群ですが、{e} という集合の記号を略記して 1 とだけ表記されることが多いです。
※ 1 と表されることもあります。

いずれにせよ、両端が単位元のみから成る単位群です。

f₀:{e} → G₁, f₁:G₁ → G₂,
f₂:G₂ → G₃, f₃:G₃ → {e} について、
Im f_i = ker f_i+1（i は 0 以上 3 以下の非負整数）となっています。

両端が単位群となっている 5 つの群と、それらの間の 4 つの群準同型写像の列から成る完全列のことを短完全列と呼びます。

短完全列については、左端が単位群であることから、f₁ が単射ということになります。

これは、完全列なので、
ker f₁ = Im f₀ = {e} となっているからです。

Im f₁ = ker f₂ は、後回しにして、f₂ が全射となっていることを説明します。

G₃ の f₃ による像は単位群となっています。

そのため、
f₃(G₃) = {e} ということから、
ker f₃ = G₃ です。

完全列なので、
f₂(G₂) = Im f₂ = ker f₃ = G₃ です。

f₂(G₂) = G₃ なので、f₂ が全射ということを示しています。

まとめると、短完全列は、要するに、f₁ が単射群準同型写像で f₂ が全射群準同型写像ということです。

漢字で書くと「単射群準同型写像、全射群準同型写像」は長いです。

そこで、
e → G₁ → G₂ → G₃ → e は短完全列とだけ述べられることがあります。

慣れている方にとっては、字数を減らせるので述べやすいのですが、学習を始めたばかりのときに、短完全列の一言で群論の入門内容を止めてしまわないように注意です。

ここまで述べたように、集合論の写像についての入門内容と群論の学習し始めの内容から、短完全列の定義の把握までは単純です。

ここまでの内容を押さえておくと、短完全列の言葉を使った説明が大学の講義でなされたとしても、フォローできます。

次に、少し代数学的な内容を述べておきます。群拡大という内容を述べる前に命題を一つ示しておきます。

埋め込みについて

e → G₁ → G₂ → G₃ → e を短完全列とします。

f₁:G₁ → G₂ が単射群準同型写像で、
f₂:G₂ → G₃ が全射群準同型写像です。

f₁ が単射なので、f₁(G₁) と G₁ を同一視して、G₁ が G₂ の部分群として扱われるときがあります。

※ inclusion という記事で、他の同一視についても解説をしています。

では、G₁ = f₁(G₁) と同一視をした上で、次の命題を示します。

＜証明＞

準同型定理より、
G₃ と G₂/ker f₂ となっています。

また、完全列の定義より、
ker f₂ = Im f₁ = f₁(G₁) だから、
G₂/ker f₂ = G₂/f₁(G₁) です。

G₁ = f₁(G₁) と同一視をしているので、
G₂/ker f₂ = G₂/G₁ となります。

よって、G₃ と G₂/G₁ は群として同型となっています。【証明完了】

この【命題２】の内容を押さえた上で、群拡大の定義です。

群拡大 :具体例で見てみる

【定義】

e → G₁ → G₂ → G₃ → e を短完全列とする。

このとき、群 G₂ を G₃ の G₁ による群拡大という。

G₁ = f₁(G₁) と同一視をすると、剰余群 G₂/G₁ は G₃ と群として同型となっています。

この群拡大について、よく知られている例を述べておきます。

具体例

三次対称群を S₃、三次交代群を A₃ と表すことにします。

三次対称群は、異なる三個のものを並び替えるという置換全体です。そのため、S₃ は 3! 個、つまり、6 個の元から成ります。

各置換は、互換の積（合成写像）として表すことができ、奇数個の互換の積で表される置換が奇置換です。偶数個の互換の積として表されるのが偶置換です。

そして、S₃ の偶置換全体が、三次交代群 A₃ となっています。

n 次対称群について、偶置換全体の個数は、n!/2 である。

ブログ偶置換・奇置換より

このことから、三次交代群 A₃ に含まれている元の個数は、6/2、つまり 3 個ということになります。

6 ÷ 3 = 2 より、A₃ の S₃ における指数は 2 です。

指数2の部分群は正規部分群なので、A₃ は S₃ の正規部分群となっています。

A₃ の元 σ に対して、σ そのものを対応させるということで、A₃ から S₃ への写像 f を定義します。

つまり、f:A₃ → S₃, f(σ) = σ です。この f は単射群準同型写像です。

Z/2Z = {0+2Z, 1+2Z} という加法についての巡回群を考えます。

S₃ の各偶置換に対して 0+2Z を、
S₃ の各奇置換に対して 1+2Z を対応させる写像を g とします。

つまり、g:S₃ → Z/2Z です。g は全射群準同型写像となっています。

これで、
e → A₃ → S₃ → Z/2Z → e という短完全列が得られました。

単位群 {e} から A₃ へは、e に対して恒等置換を対応させています。また、Z/2Z のどの元についても e を対応させています。

互換 (1, 2) を代表元とすると、
(1, 2)A₃ は、異なる 3 個の奇置換から成ります。

そのため、
剰余群 S₃/A₃ は {A₃, (1,2)A₃} という 2 個の元から成ります。

S₃/A₃ の元 A₃ に 0+2Z という Z/2Z の元が対応。

そして、(1,2)A₃ に 1+2Z が対応しています。

そのため、S₃/A₃ が Z/2Z と群として同型となっています。

細かい話をすると、群拡大は分裂（半直積）という内容と関わります。

群拡大 :分裂について

【命題３】

e → H → G → K → e を群拡大とする。

すなわち、f:H → G が単射群準同型写像で、
π:K → G が全射群準同型写像とする。

さらに、φ:K → G という単射群準同型写像で、
πφ が K から K への恒等写像となるものが与えられたとする。

このとき、任意の g∈G に対して、
(h, k)∈H×K が一意的に存在し、g = hk と表すことができる。

＜証明＞

g∈G を任意の元とします。

π(g^-1) は K の元なので、φ によって、G へ移されます。

つまり、φ(π(g^-1))∈G となっています。

g と φ(π(g^-1)) の G における積を h と置くことにします。

今、gφ(π(g^-1)) = h となっています。

π(h) = π(gφ(π(g^-1)))
= π(g)π(φ(π(g^-1)))

仮定より、πφ は K から K への恒等写像だから、
π(h) = π(g)π(g^-1)
= π(gg^-1) = π(e_G) = e_K
（e_G は G の単位元で e_K は K の単位元です。）

よって、h∈ker π = Im f = f(H)

f が単射群準同型写像なので、H と f(H) を同一視することにより、
h∈ker π = H となります。

また、φ も単射群準同型写像なので、φ(K) と K を同一視することによって、
φ(π(g^-1))∈K と見なします。

そのため、(φ(π(g^-1)))^-1∈K と考えます。

よって、(h, (φ(π(g^-1)))^-1)∈H×K で、
g = h(φ(π(g^-1)))^-1 です。

次に、この表し方が一意的であることを示します。

g∈G が hk = g = h’k’ (h, h’∈H, k, k’∈K) と表されていたとします。

今、同一視によって、
Im f = f(H) = H と考えていて、
完全列の定義から、Im f = ker π なので、
π(h) = e_K = π(h’) です。

また、φ(K) = K と同一視をしていて、
πφ が K から K への恒等写像なので、
π(k) = k, π(k’) = k’ となっています。

そのため、
k = e_Kk = π(h)π(k)
= π(hk) = π(g) = π(h’k’)
= π(h’)π(k’) = e_Kk’ = k’

よって、k^-1 は k’ の逆元でもあるので、
hk = g = h’k’ の左辺と右辺に右から k^-1 を乗じると、h = h’ を得ます。

つまり、(h, k) = (h’, k’) となっているので、表し方が一意的であることが示されました。【証明完了】

この【命題３】の仮定条件が全て満たされているときに、その短完全列は分裂するといいます。

G の各元 g が、同一視を用いることによって、H の元と K の元の積として g = hk と一意的に表されることが、分裂です。

この 群 H と K から、直積集合 H×K に二項演算を定義する外部半直積があります。

分裂の発想と自己同型群への準同型写像を使います。

外部半直積について、最後に述べておきます。群 H の自己同型写像全体を Aut(H) と表すことにします。

外部半直積

H と K を群とする。

そして、σ: K → Aut(H) という群準同型写像が与えられたとする。

このとき、直積集合 G = H×K において、
(h, k)(h’, k’) = (hσ(k)(h’), kk’) と乗法を定義する。

この乗法について、G は群をなす。

この G = H×K を H と K の外部半直積といいます。

k∈K について、σ(k) は H の自己同型写像となっています。

σ(k):H → H という自己同型写像なので、σ(k)(h’) が h’ の移り先です。

直積集合の第一成分について、
h と σ(k)(h’) で H における乗法を計算しています。

第二成分については、k と k’ で K における乗法を計算しています。

こうして定義した乗法について、
G = H×K は群の定義を満たします。

この確かめは長くなるので、省略します。定義した通りに乗法を計算すると、群の定義を満たすことが分かりますが、ちゃんと証明を書くと文章が長くなります。

ちなみに、位数pqの群を例に、内部半直積についての内容も述べています。

また、環からの作用が定義された加群についても、完全列の内容が出てきます。

ここからは、加群の完全列について解説をしています。

分裂 – 直和因子

完全列が分裂するということの定義を書き換えるという内容の記事ですが、じっくりと前の段階で使う内容について説明をしておきます。

R-準同型写像 f は、M から N への加法群としての準同型で、次のような特徴をもっています。

つまり、
∀r∈R, ∀a∈M について、
f(ra) = rf(a) となります。

R が可換体のときは、線形写像の定義の通りです。

f(M) = Im f が N の部分加群なので、剰余加群を定義することができます。

その剰余加群が余核というわけです。

この余核を使う場面となる R-準同型の列についての記号の説明もしておきます。

R-準同型の列

K, M, N を左R-加群とし、f と g を R-準同型とする。

0→K→fM→gN→0 について、
f が単射で g が全射であり、
g が Coker f から N への 全単射R-準同型を誘導するとき、この列を完全列という。

※ 0 は零のみからなる左-R加群

補足説明をすると、
a+Im f ∈Coker f、
つまり、
a+Im f ∈ M/Im f に対して、
g*(a+Im f) = g(a) が矛盾なく定義でき、g*が全単射になっているということが、完全列の定義です。

さらに、分裂ということが定義されます。

スプリットの十分条件

Im f が M の直和因子となっているということは、ある M の部分加群D が存在して、次を満たすことです。

つまり、
M = Im f ⊕ D となっているということです。

直和なので、x∈M に対して、
x = a + b を満たす
a∈Im f と b∈D が一意的に存在するということです。

※ 一意的とは、ただ 1 つということです。

数学科で扱う内容なので、分裂の定義を、必要十分条件で書き換えることを考えます。

そこで、Im f が直和因子という内容を、写像を用いて書き換えることを考えます。

【命題４】

K, M, N を左R-加群とし、f と g を R-準同型とし、
0→K→fM→gN→0 が完全列であるとする。

このとき、
R-準同型 f’ : M → K が存在し、
合成写像 f’f が K 上の恒等写像であるならば、Im f が M の直和因子となって分裂する。

＜証明＞

x∈M が任意に与えられたとします。

すると、f'(x)∈K です。

f'(x) を f で移すと、
ff'(x)∈M です。

もう一度 f’ で移すと、f’f は K から K への恒等写像なので、
f'(ff'(x)) = (f’f)(f'(x)) = f'(x) です。

左辺と右辺に －f'(x) を加え、
f'(ff'(x))－f'(x) = 0

f’ は R-準同型なので、
f'(ff'(x)－x) = 0 です。

これは、ff'(x)－x∈ker f’ ということです。

ker f’ は部分加群なので、
x－ff'(x)∈ker f’ でもあります。

また、ff'(x)= f(f'(x))∈Im f です。

さらに、
x = ff'(x)+(x－ff'(x))
∈ Im f + ker f’

よって、部分集合の定義から
M ⊂ Im f + ker f’

どちらも M の部分加群だから、
M = Im f + ker f’ となっています。

ここで、α∈Im f ∩ ker f’ とすると、
ある b∈K を用いて、
α = f(b) と表すことができます。

ker f’ の定義と
f’f が恒等写像であることから、
0 = f’f(b) = b

そのため、
α = f(b) = f(0) = 0 です。

このことから、
Im f ∩ ker f’ = {0} です。

よって、
M = Im f ⊕ ker f’ 【証明完了】

同値に書き換えたいので、逆も示します。

必要である範囲の枠

【命題５】

K, M, N を左R-加群とし、f と g を R-準同型とし、
0→K→fM→gN→0 が完全列とする。

このとき、Im f が M の直和因子となって分裂するならば、R-準同型 f’ : M → K が存在し、合成写像 f’f が K 上の恒等写像となる。

＜証明＞

Im f が M の直和因子なので、
ある M の部分加群 D が存在し、
M = Im f ⊕ D となっているとします。

f は単射R-準同型なので、
K と Im f は左R-加群として同型となっています。

今、Im f から K への逆写像 f^-1 も左R-加群としての同型写像です。

この φ の始集合（定義域）を次のようにして M を始集合とする写像 f’ に拡張します。

任意の d∈D に対して、
f'(d) = 0,
任意の y∈Im f に対して、
f'(y) = f^-1(y)

M = Im f ⊕ D なので、M の元が一意的に Im f の元と D の元の和として表されます。

そのため、
任意の m∈M が与えられたとき、
y∈Im f と d∈D が存在し、
m = y + d と表せるので、
f'(m) を f'(y) + f'(d) と定義できます。

そのため、f’ という M から K へのR-準同型が定義できました。

t∈K を任意に取ります。

すると、f(t)∈Im f ⊂ M です。

直和の定義から、
f(t) = f(t) + 0 です。

f’f(t) = f'(f(t))
= f'(f(t)) + f'(0)
= f^-1(f(t)) + 0
= t です。

これは、合成写像 f’f が K から K への恒等写像ということを示しています。【証明完了】

これで、Im f が M の直和因子となって分裂するという内容を写像を使って書き換えることができるようになりました。

【命題４】や【命題５】は、f が単射という内容から導きました。

関連する記事として、
加群の定義という基礎的な内容を解説した記事を投稿しています。

それでは、これで今回の記事を終了します。

読んで頂きまして、ありがとうございました。