正規拡大 | K-自己同型写像と合わせて考える

正規拡大-K自己同型写像-表紙

" 正規拡大 “について、基本的な命題たちについて解説をしています。

可換体 K からの拡大体である L が正規であるということの定義から始め、基礎となる命題をいくつか証明します。

その後で、有限次のガロア拡大が、必ず正規拡大となっていることを証明します。

体としての同型写像については、話し手によって微妙に定義が異なるときがあるため、準備として、この記事における定義と、関連する命題を先に述べることにします。

正規拡大 :準備となる用語の定義など

環論の入門的な内容で学習するように、可換体 L から可換体 L’ への環準同型写像は、必ず単射(モノ)となります。

この証明は、環準同型写像という記事で解説をしています。

また、L/K という K からの拡大体 L が与えられたとき、L から L’ への環準同型写像 σ が、K のどの元も動かさなければ、σ をK-同型写像とよぶことにします。

任意の a∈K に対して、
σ(a) = a という条件を環準同型写像の定義に付け加えたものとなっています。

ただし、これだけの条件だと、必ずしも L から L’ への全射になるとは限りません。

そこで、K-同型写像が全射となる断定できる基礎的な命題を証明しておきます。

必ず全射(エピ)となる条件

【命題1】

代数拡大 L/K が与えられたとする。

このとき、L から L への K-同型写像 σ は、L から L への全射(上への写像)である。


<証明>

v∈L を任意に取ります。

L の元で、σ によって v に移されるものが存在することを示せば、σ が全射ということになります。

仮定より、L が K の代数拡大となっていることから、v の K 上の最小多項式(既約)が存在するため、それを f(x) とします。

また、L の元で f(x) の相異なる根全体を u1, … , ur とします。

ただし、u1 = v とします。

因数定理より、
ある g(x)∈K[x] が存在し、
f(x) = (x-u1)n1…(x-ur)nrg(x) と表すことができます。

f(x) = Σi aixi (ai∈K) を σ で移すと、
K-同型写像なので、
σ(f(x)) = Σi σ(ai)xi
= Σi aixi = f(x) と同じ K 係数の多項式のままです。

そのため、
f(x) = σ(f(x))
= (x-σ(u1))n1…(x-σ(ur))nrσ(g(x))

各 σ(uj) は L の元であり、f(x) の根となっています。

今、L の元で f(x) の根となっているものが r 個でした。

σ が単射であることから、σ(u1), … , σ(ur) は、相異なる f(x) の r 個の根です。

それゆえに、σ(u1), … , σ(ur) のうち、どれかは u1 = v と一致します。

よって、L の元で、σ によって v に移されるものが存在することが示せたので、σ は全射です。【証明完了】

この【命題1】は、L が K の代数拡大という条件から結論が導かれています。

有限次拡大は、代数拡大なので、有限次拡大について議論をしているときには、【命題1】から、K-同型写像は全射ということになります。

この部分は、可換体論を学習するときに、よく省略されることが予想されるので、全射であることの根拠として押さえておくと良いかと思います。

ここで用語ですが、この記事では、L から L’ への K-同型写像が全射であるときに、L の K-自己同型写像とよぶことにします。

ここまでの準備となる内容を踏まえて、さらに正規拡大についての定義と、基礎となる命題を示します。

正規拡大 :定義と基礎となる命題たち

【定義】

代数拡大 L/K について、K 上の既約多項式で L の元を根にもつものが、必ず L において一次式の積に分解するとき、L/K を正規拡大という。


この定義ですが、L が K の代数的閉包となっているとは限らないので、「K 上の既約多項式で L の元を根にもつもの」という限定を定義の条件に入れています。

そのかわり、K 上の既約多項式 f(x) が、1つでも L の元を根としてもっていたとすると、f(x) の残りの根は必ず L の元となっているということを意味しています。

この正規拡大についての基礎的な命題を1つ示します。

【命題2】

L/K を有限次拡大とする。

このとき、
L/K が正規拡大ならば、
L の任意の拡大体 M と M の任意の K-自己同型写像 σ に対して、σ(L) は L に一致する。

<証明>

σ の L への制限写像を σ* と表すことにします。

σ*(L) ⊂ L を示せれば、有限次拡大は代数拡大なので、【命題1】から σ* が L から L への全射である K-同型写像となります。

そのため、σ*(L) = L となり、
σ(L) = σ*(L) = L が示せたことになります。

これで証明の方針ができたので、σ*(L) が L に含まれることを示します。

v∈L を任意に取ります。

v の K における最小多項式を f(x) とすると、最小多項式は既約多項式なので、正規拡大の定義から L において一次式の積に分解します。

すなわち、
f(x) = a(x-u1)…(x-ur),
ただし、v = u1 で、uj∈ L,
a∈K は a ≠ 0 とします。

f(x)∈K[x] なので、σ* によって f(x) は不変です。

そのため、
a(x-u1)…(x-ur) = f(x)
= σ*(a)(x-σ*(u1))…(x-σ*(ur))
= a(x-σ(u1))…(x-σ(ur))

ここで、各 σ(uj)∈M, σ(a)∈M です。

すなわち、
a(x-u1)…(x-ur)
= a(x-σ(u1))…(x-σ(ur))

x-uj は L[x] ⊂ M[x] における一次式で、一次式は既約多項式となっています。

よって、M[x] が一意分解整域であることから、単元倍を除いて、既約多項式による分解は一意的でした。

ゆえに、
各一次式の積の順番を入れ替え、
{u1, … , ur}
= {σ(u1), … , σ(ur)} を得ます。

つまり、
σ(v) = σ*(v) = σ(u1)
∈ {u1, … , ur}
⊂ L となっています。

v∈L を任意に取ったことから、
σ(L) = σ*(L) ⊂ L 【証明完了】

この証明では、v の最小多項式の最高次係数を a として議論しましたが、最小多項式として最高次係数が 1 となるものを取ることができます。

これは、
x = v が、
anxn+an-1xn-1+…+a0 = 0 (an ≠ 0) の解であるときに、an の逆元を両辺に乗じ、その後の係数たちを新しい文字で置き直せば良いからです。

また、この【命題2】は、制限写像の始集合に注意すると、【命題1】から自動的に σ(L) と L が一致するという内容になります。

単なる集合論の入門だけでなく、環論についての基礎が効いているところも、大切になります。

環論は、可換体論を学習する前段階になり、しっかりと理解の基礎となってくれます。

この【命題2】ですが、逆も成立します。

この逆を示すときに、可換体論の基礎となる定理を使います。

逆を示すために

【定理**】
f(x) を体 K 上の既約多項式とし、M を f(x) の最小分解体とする。

また、a ∈ M を f(x) の根とする。

このとき、「b ∈ M が a と K 上共役であること」と、「M の K-自己同型写像 σ が存在し、σ によって a が b に移されること」が同値となる。

ブログ共役類より

この【定理**】は、リンク先の記事の最後で証明をしている定理になります。

いかにも可換体論らしい定理を使って、【命題2】の逆に当たる次の【命題3】を証明します。

この【定理**】を証明するのは、可換体論を学習し始めてから重たい部分になりますが、これを認めてしまうと、先ほどの証明の逆が、あっさりと得られます。

【命題3】

L/K を有限次拡大とする。

このとき、
L の任意の拡大体 M と M の任意の K-自己同型写像 σ に対して、σ(L) は L に一致するならば、L/K は正規拡大である。

<証明>

g(x)∈K[x] を L の元 v を根にもつ既約多項式とする。

先ほど述べたことより、
v を根にもつ最高次係数 1 の K 上の既約多項式 f(x) に書き換えることができます。

g(x) = bnxn+bn-1xn-1…+b0 のとき、
f(x) = xn+bn-1bn-1xn-1…+bn-1b0
= xn+an-1xn-1+…+a0 と置くと、
f(x)∈K[x] は x = v を根にもつ K 上の既約多項式です。

f(x) = (x-v1)…(x-vr) を f(x) の分解体における一次式への分解とします。

ただし、v = v1 としています。

そして、v, u1, … , un を K 上のベクトル空間 L の基底とします。

有限次拡大は代数拡大なので、
各 ui の K 上の最小多項式 fi(x) を取ることができます。

ここで、
g(x) = f(x)f1(x)…fn(x) と置きます。

そして、g(x) の最小分解体を M とします。

この M は K に g(x) の根をすべて添加した可換体となっています。

M は v, u1, … , un を含むので、M は L の拡大体となっています。

ここで、【定理**】より、
各 vj に対して、
M の K-自己同型写像 σj が存在し、
σj(v) = vj となります。

共役という同一既約多項式の元が移り合うという定理を使いました。

今、仮定より、
各 j について、σj(L) は L と一致しています。

そのため、
vj = σj(v)
∈σj(L) = L です。

よって、f(x) の根は、すべて L の元です。

g(x) の根は、すべて f(x) の根なので、g(x) は L において一次式の積に分解します。【証明完了】

最後の部分を少し補足すると、
x = t を g(x) の根とすると、
g(t) = 0
⇔ bntn+bn-1tn-1…+b0 = 0
⇔ tn+bn-1bn-1tn-1…+bn-1b0 = 0
⇔ tn+an-1tn-1+…+a0 = 0
⇔ f(t) = 0 ということです。

高校の数学で、よく計算した方程式の同値変形を一般の体の元を係数として計算しているだけなので、ご安心ください。

ここで、分解体の定義を再度、述べておきます。

拡大 L/K について、
ある 1 次以上の f(x)∈K[x] が存在し、
f(x) の根 v1, … , vn をすべて K に添加した体が L に一致しているとき、L を f(x) の K 上の分解体といいます。

つまり、
a∈K が f(x) の最高次係数で、
f(x) = a(x-v1)…(x-vn),
L = K(v1, … , vn) となっているときに、L が f(x) の K 上の分解体です。

【命題3】から、すぐに導ける系を述べておきます。

すぐに得られる系

【系】

L が f(x) の K 上の分解体とし、f(x) の根 v1, … , vn をすべて K に添加した体が L に一致しているとする。

このとき、
L = K(v1, … , vn) は K からの有限次の正規拡大となっている。


<証明>

各 ui は K 上代数的となっています。

そのため、
K から L = K(v1, … , vn) への拡大次数は有限です。

さらに、L の任意の拡大体 M と M の任意の K-自己同型写像 σ が与えられたとします。

a∈K が f(x) の最高次係数とします。

つまり、
f(x) = a(x-v1)…(x-vn) となっている状況を考えます。

すると、次を得ます。

正規拡大-基礎的な命題の証明

よって、
σ(L) = K(σ(v1), … , σ(vn))
= K(v1, … , vn) = L です。

したがって、【命題3】より、
L は正規拡大となっています。【証明完了】

この【系】の逆も、すぐに得られます。

L/K が有限次の正規拡大とします。

そして、v1, … , vn を K 上のベクトル空間 L の基底とし、各 vi の K 上の最小多項式をそれぞれ fi(x) と置きます。

f(x) = f1(x)…fn(x) とすると、正規拡大の定義から、f(x) の全ての根は L に含まれています。

そのため、f(x) の根を全て K に添加した可換体は L です。

つまり、
u1, … , ur を f(x) の全ての根とすると、
L = K(u1, … , ur) です。

最後に、ガロア拡大と関連づけておきます。

有限次のガロア群を考える

代数拡大 L/K について、L から L への K-自己同型写像全体を G とします。

そして、
{v∈L | σ(v) = v (∀σ∈G)} を F(G) とします。

このとき、F(G) = K となっていれば、L/K をガロア拡大といい、G をそのガロア群といいます。

次の定理は、有限次におけるガロア拡大を学習する上で基本となります。


【定理1】

L/K を有限次拡大とする。

さらに、L/K がガロア拡大となっていて、そのガロア群を G とする。

このとき、L/K は正規拡大である。


<証明>

K 上の既約多項式 f(x) が L の元 v を根にもったとします。

また、この f(x) の次数を、
deg f = n ≧ 1 とします。

任意の σ∈G に対して、
σ(v) は f(x) の根となっています。

そこで、
{σ(v) | σ∈G} という G-軌道の中で、相異なるものを全て選び出し、それらを v1, … vr と置きます。

ただし、恒等写像で移したものも考えるので、v = v1 としておきます。

f(x) の根は n 以下なので、
r ≦ deg f = n となっています。

そこで、
h(x) = (x-v1)…(x-vr) と置きます。

すると、各 i について、
任意の g∈G に対して、
g(vi) = (gσ)(v) なので、
{σ(v) | σ∈G} ⊂ L という G-軌道の中に含まれています。
※ G の元は L から L への自己同型写像だから、G-軌道は L の中に含まれています。(G-軌道は L の外へは出ていないということです。)

G-軌道の元を全て集めたものが v1, … vr だったので、g(vi) は v1, … vr のいずれか1つとのみ一致していることになります。

i ≠ j のときは、
g が単射なので、
g(vi) と g(vj) は v1, … vr の異なる2個となっています。

すなわち、任意の g∈G は、
{v1, … vr} の置換となっています。

そのため、
g(h(x)) = h(x) です。

この左辺と右辺の各項について、係数である可換体の元は一致しています。

つまり、h(x) の各項の係数は G によって動かない固定点ということになります。

よって、ガロア拡大の定義から、任意の G の元によって動かない元が K の元に限ることから、h(x) のどの次数の項の係数も、すべて K の元ということになります。

h(x) に現れる係数が全て K の元だから、
h(x) ∈K[x] です。

f(x) と h(x) がともに K[x] の元なので、h(x) を f(x) で割った商を p(x), 余りを q(x) とします。

余りについて、
deg q < deg f となっています。

すると、
h(x) = p(x)f(x)+q(x) となります。

今、
v = v1 は h(x) と f(x) の根より
0 = q(v) となっています。

もし、q(x) が一次以上の次数だとすると、
deg q < deg f なので、
既約多項式が最小多項式であったことから、f(x) の次数の最小性に矛盾します。

よって、q(x) = 0 でなければなりません。

これで、f(x) が h(x) を割り切るということになりました。

一方、deg h = r ≦ deg f でした。

そのため、
ある a∈K-{0} が存在し、
h(x) = af(x) ということになります。

K の元である単元倍しただけなので、
f(x) = a-1h(x) です。

h(x) の全ての根は、G-軌道の元で L の元だったので、f(x) の根が全て L に含まれているということになります。

すなわち、
f(x) = a-1h(x) が L における f(x) の一次式への分解です。【証明完了】

結論に達しましたが、さらに考察を進めると、h(x) の根である v1, … vr は、全て相異なる L の元でした。

f(x) = a-1h(x) (a∈K) より、K 上の既約多項式 f(x) は重根をもっていないということになります。

これは、分離的ということも示せています。

代数拡大 L/K に関し、L の各元 u について、u の K 上の最小多項式(既約多項式)が重根をもたいときに、L は K 上分離的といいます。

もしくは、L は K の分離拡大といいます。

この定義を踏まえて、もう一度【定理1】の証明を踏襲すると、次の定理を得ます。

分離的であることも

【定理2】

L/K を有限次拡大とする。

さらに、L/K がガロア拡大となっていて、そのガロア群を G とする。

このとき、L/K は正規かつ分離である。


u∈L の K 上の最小多項式(既約多項式)を f(x) とします。

【定理1】の証明と全く同様のことを記述し、
f(x) = a-1h(x) (a∈K) とします。

h(x) は相異なる r 個の根だったので、重根がありません。

これで、分離的ということも示せました。【証明完了】

実は、この【定理2】も、逆が成立しますが、それまで記述すると長くなるので、これで終了します。

【関連する記事】

ガロア理論についての記事をいくつか投稿しています。

ガロア対応
ガロア群

今回は、正規拡大について述べましたが、分離拡大については、完全体という記事で解説をしています。

それでは、これで今回のタロウ岩井の記事を終了します。

読んで頂き、ありがとうございました。