ラグランジュの定理 | 有限群の位数についての定理

ラグランジュの定理-Lagrange-表紙

ラグランジュの定理 (Lagrange’s theorem) は有限群の位数についての基本となる定理です。部分群の位数が全体の位数の約数となるということを示す定理です。

また、元の位数についても、1元で生成される部分群を考えてラグランジュの定理を使うことで、全体の位数の約数となっていることが分かります。

代数学の学習を進めていくときに、基本となるので、早い段階から理解をしておくと良いかと思います。

このブログ記事では、群の作用と軌道分解についての考え方を合わせて解説しています。

群の自分自身への作用として、正則表現についての軌道分解と合わせて、ラグランジュの定理を理解しておくと、作用についての考え方も一緒に理解できます。

このブログ記事では、群 G の単位元のことを e と表すことにします。

ラグランジュの定理 :群の作用を利用する

【作用の定義】

群 G と集合 X について、
写像 G × X → X が次を満たすとき、群 G が集合 X へ左から作用しているという。

[1] 任意の g, h ∈ G と任意の x ∈ X に対して、
 (gh)x = g(hx)

[2] 任意の x ∈ X に対し、
 ex = x


群の作用を考えるときに、
(g, x) → gx という対応を、g ∈ G によって、
x ∈ X が、gx ∈ X に移されたと考えます。

群の作用は、群に逆元があることから、可逆的な置換となっています。まず、可逆的な置換になっているのかということを順を追って解説します。

g の逆元 g-1 も G の元なので、
gx ∈ X を g-1 で移すと、
g-1(gx) = (g-1g)x となります。

g-1g = e について、[2] から、
ex = x なので、g-1(gx) = x

x が g によって、gx に移されましたが、g-1 によって、gx は x に戻されています。これが、 G の作用が可逆的ということです。

ここから、G の作用から、X から X への置換という全単射が誘導されることを説明します。

作用から写像を誘導

g, h ∈ G について、fg と fh という X から X への写像が誘導されます。

x ∈ X に対して、
fg(x) = gx, fh(x) = hx という写像について、合成写像を調べてみます。

fgfh(x) = fg(fh(x)) = g(hx) となります。

実は、この写像の合成と、群 G における乗法が関連しているということを示しているのが、作用の定義の [1] です。

g と h で、G における乗法を計算した積 gh は G の元です。同じく gh について、写像を誘導します。それを fgh と表します。

fgh(x) = (gh)x なので、
[1] から、fgh=fgfh ということが分かります。

h ∈ G を任意に取ったので、h として、g の逆元 g-1 ∈ G を考えます。

今、示したことから、
fgg-1 = fgfg-1 となっています。

ex = x なので、
x = ex = fe(x)
= fgg-1(x) = fgfg-1(x) となっています。

これは、fgfg-1 が X から X への恒等写像ということを表しています。

さらに、g-1 と g について、同様の議論をすると、fg-1fg も恒等写像ということが分かります。そのため、fg の逆写像が fg-1 ということになります。

よって、群 G が集合 X に作用をしているとき、各 g ∈ G は、fg という X から X への全単射として働くことになります。

ちなみに、X から X への全単射のことを X 上の置換といいます。

X の位数が自然数 n のときに、X 上の置換をすべて集め、写像の合成を積とした群のことを対称群 S(X) と呼びます。

3次対称群 というブログ記事で対称群について解説をしています。

ここからは、群 G から G 自身への作用(置換)を考えます。段々とラグランジュの定理へと近づいていきます。

群の乗法は入れ替え作用

群の乗法は、次のような二項演算です。

G × G → G, (g, x) → gx

先ほどの集合 X として、G 自身を考えると、群の乗法によって、G は G 自身へ作用をしているということになります。

g ∈ G について、fg は全単射でした。

そのため、x, y ∈ G が x ≠ y となっていたとき、
fg(x) ≠ fg(y) となります。

つまり、gx ≠ gy です。

そのため、G が有限群のとき、空集合ではない S ⊂ G について、S に含まれている元(要素)の個数と、fg(S) に含まれている元の個数が同じになります。

有限集合 S に含まれている元の個数を位数といいます。

以下において、| S | によって、位数を表すことにします。
※ #S という位数の表し方もあります。

ここで、新しい記号を導入します。

g ∈ G と空集合ではない S ⊂ G に対して、
gS = fg(S) = { gx | x ∈ S} と表すことにします。

群 G の乗法について、結合律(結合法則)が成立するので、g, h ∈ G について、
g(hS) = { g(hx) | x ∈ S}
= {(gh)x | x ∈ S} = (gh)S となります。

このため、g(hS) = (gh)S の括弧をはずして、単に ghS と表されるときもあります。

ここまで、G の左からの作用について述べてきましたが、右からの作用も定義されています。

X × G → X という右作用は、
任意の g, h ∈ G と 任意の x ∈ X に対して、
[1] (xg)h = x(gh), [2] xe = x を満たすものです。

空集合でない S ⊂ G について、右から G の元 g を掛けることで、 Sg を同様に定義できます。

ラグランジュの定理 :いよいよ定理の証明へ

G を有限群とし、H を G の部分群とします。このときに、H から G への右作用を群 G の乗法を用いて定義することができます。

G × H → G を (g, h) に対して gh という G における積を対応させることで、H から G への右からの作用となります。

G の結合律から [1] が成立し、群 G の単位元について [2] が成立しています。

ここで、軌道というものを定義します。g ∈ G として、g を H の右作用で移してできる元全体の集合を考えます。

gH = {gh | h ∈ H}g を含む H-軌道といいます。

※ e ∈ H は G の乗法についての単位元と一致していて、g = ge ∈ gH となっているので、g を含んでいる軌道です。

先ほどの G から G 自身への左作用で示したことから、h, h’ ∈ H が h ≠ h’ となっているときに、
gh ≠ gh’ となっています。

作用を考えるときに、右と左の作用を一緒に用いながら議論を進めていくことが多いです。

ラグランジュの定理も、今のように右作用を考えている中で左作用も使うことで、議論を進ませることができました。

今度は、g, g’ ∈ G について、
gH ≠ g’H となっているときに、
gH ∩ g’H = Φ (空集合)となっていることを背理法で示します。

x ∈ gH ∩ g’H が存在したと仮定します。

このとき、ある h, h’ ∈ H が存在して、
gh = x = g’h’ と表すことができます。

よって、g = g'(h’h-1) ∈ g’H となります。

そのため、ある s ∈ H が存在して、
g = g’s となります。

任意の k ∈ H とすると、gk = g'(ks) となり、
ks ∈ H なので、gk ∈ g’H です。

k は H の任意の元なので、gH ⊂ g’H ということになります。

g’ = g(h(h’)-1) ∈ gH でもあるので、同様にして、g’H ⊂ g’H となります。そのため、部分集合の定義から、gH = g’H となります。

これは、gH ≠ g’H に矛盾します。ゆえに、背理法から gH ∩ g’H = Φ でなければなりません。

では、いよいよ定理の証明を行います。

ラグランジュの定理の証明

ラグランジュの定理-位数

<証明>

H の元を右から掛けることを、H から G への右作用とします。

g1 ∈ G を 1 つ取ります。そして、g1H という g1 を含む軌道をつくります。

この g1H が全体 G と一致していると、
| G | = |g1H| = | H | となり、
| H | は | G | の約数となります。

そのため、g1H が G に真に含まれているとして、以下の議論を進めます。

このとき、g2 ∈ G - g1H を任意に取ります。

g1H ∪ g2H が G に一致していなければ、
G - (g1H ∪ g2H) から g3 を取るということを繰り返すと、G が有限群なので、有限回の操作で、和集合が全体 G に一致します。

g1H ∪ … ∪ gnH = G となったとします。

各 gi の取り方から、
i ≠ k のとき、giH の中に gk が含まれていないので、giH ∩ gkH = Φ

※ giH ∩ gkH ≠ Φ とすると、先ほど述べた H-軌道の議論から giH = gkH となってしまい、giH の中に gk が含まれていないことに反してしまいます。

| H | = |giH| (i = 1, 2, … , n) なので、
| G | = n × | H | です。

よって、| H | は | G | の約数となっています。【証明完了】

この証明で出てきた n を H の G における指数といいます。

G/H = {g1H, … , gnH} という部分集合の集まりを考えたときに、G/H に含まれている軌道の個数が指数です。

1 つの軌道について、さらに考察を進めます。

軌道の代表元

x ∈ giH を 1 つ取ります。

この gi を含む H-軌道から取った元 x で、x を含む H-軌道を考えると、xH は、giH に一致します。

このことを、次のようにして示すことができます。

ある h ∈ H が存在して、x = gih と表せます。

この x に右から H を作用させると、
xH = (gih)H = gi(hH) = giH

G における結合律を利用することで、右作用を gi や h からの左作用に切り替えることができることが効いています。

このブログのはじめの方で示した左作用について、fh は全単射でした。そして、H は G の部分群なので積で閉じています。

そのため、hH = fh(H) ⊂ H であり、fh(H) の位数と H の位数が等しいことから、
hH = H と結論づけられます。

ここで、ラグランジュの定理を 1 元生成の部分群について適用して、有限群の元の位数についての命題を証明します。

元の位数について

G を有限群とし、g ∈ G とし、
< g > を g を含む G における最小の部分群とします。

自然数 n に対して、g を n 個で積をとったものを gn と表すことにします。

n にマイナスをつけた負の整数 – n については、
g-1 を n 個で積をとったものを g-n と表すことにします。

0 という整数については、G の単位元 e を g0 と表すことにします。

整数全体を Z と表すことにすると、
g を含む G における最小の部分群を < g > としていたので、

{gz | z ∈ Z} ⊂ < g > です。

そして、{gz | z ∈ Z} は gz1gz2 = gz1+z2 となっていることから、G の部分群となっています。

そのため、< g > の最小性から、

{gz | z ∈ Z} = < g > です。

この g で生成される部分群 < g > の位数を元 g の位数といいます。

部分群 < g > の位数について、ラグランジュの定理を適用すると、元 g の位数は G の位数の約数ということになります。

この元の位数は、整数環や、その剰余環を考えるときに、オイラーのファイ関数などの内容に関連します。

最後に、有限群の有限集合への作用に関して、軌道に含まれている元の個数について、基本となる内容を証明します。

ラグランジュの定理 :固定部分群

有限群 G が有限集合 X へ作用しているときを考えます。a ∈ X について、次のように Ga を定めます。

つまり、Ga = {g ∈ G | ga = a}

作用の定義から、
ea = a なので、e ∈ Ga です。

また、g, h ∈ Ga とすると、
(gh)a = g(ha) = ga = a,
a = g-1a となります。

gh, g-1 は a を動かさないので、
gh, g-1 ∈ Ga となります。

よって、a を動かさない G の元をすべて集めた集合 Ga は G の部分群となっていることを示せました。

この Ga を a についての固定部分群といいます。

それでは、軌道に含まれている元の個数についての命題を示します。

軌道に含まれている元の個数

【命題】

有限群 G が有限集合 X に作用しているとする。

x ∈ X について、x を含む G-軌道 Gx に含まれている元の個数は、固定部分群 Gx の G における指数である。


<証明>

x についての固定部分群 Gx を H と置くことにします。

H の G における指数を n とすると、
G = g1H ∪ … ∪ gnH

gi を含む H-軌道 giH のどの元 についても、x の移し先は同じになります。

実際、h, h’ ∈ H とすると、
(gih)x = gi(hx) = gix

すなわち、(giH)x = gix

さらに、k ≠ i のとき、gkx と gix は、異なる X の元になることが、背理法で示されます。

もし、gkx = gix とすると、
(gi-1gk) x = x より、gi-1gk ∈ H となります。

ある h0 ∈ H が存在して、
gi-1gk = h と表せるので、
gk = gih0 ∈ { gih | h ∈ H} = giH

gk = gke ∈ gkH なので、
gk ∈ gkH ∩ giH となり、gkH = giH となってしまいます。

これは、gkH ≠ giH であったことに矛盾します。

よって、背理法から、gkx と gix は、異なる X の元になることが示されました。

以上より、x を 含む G-軌道 Gx は、
g1Hx ∪ … ∪ gnHx
= {g1x} ∪ … ∪ {gnx} = Gx となっています。

したがって、
Gx = { g1x, … , gnx } に含まれている元の個数は、H の G における指数 n = |G/H| です。【証明完了】

ちなみに、G から G へ作用で、次のような共役作用というものが定義できます。

G × G → G, (g, h) → ghg-1

この作用についての軌道分解について、位数に関する類等式という等式が成立します。

このことから、有限位数の斜体は可換体となるというウェダーバーンの小定理の証明を進めることができます。
※ リンク先の記事に、類等式についてのリンクを置いています。

有限群について、ラグランジュの定理や有限集合へ作用させたときの軌道の位数は基本となるので、このブログ記事の内容が、お役に立てれば幸いです。

こちらの群の作用という記事で、作用についての基礎的な内容を解説し、軌道分解という記事で、さらにG-軌道についての理解を深めるという流れになります。

それでは、これで今回のブログ記事を終了します。

読んで頂き、ありがとうございました。

次の記事では、今回の内容の続きとなる正規部分群について解説しています。軌道についての内容と合わせて、剰余群の定義へと話を進めます。