ガロア対応 | 中間体と部分群が一対一に対応することの証明

ガロア対応-証明-表紙

" ガロア対応 (有限次のとき)"について、中間体と部分群の対応の定義と確かに一対一に対応していることの証明を解説しています。

数学科の3年生くらいで学習する内容なだけに、代数学の入門的な内容を学習した内容を適切に使って、証明を進めることになります。

中間体についての拡大次数と部分群についての指数について、正確に不等号を導きます。

「AならばB」、「BならばC」と論理的な考察を続ける部分が多い証明になりますが、既に学習したことを適切に使うことで、結論に辿り着きます。

ガロア対応 :定義と使用する基礎的な置換

有限次の拡大 L/K について、L から L への体としての自己同型全体を G とします。
※ この記事で扱う体は、すべて可換体として扱っています。

L/K の中間体 M に対して、
{g∈G | g は M-同型} を
gal(M) と表します。

G の部分群 H に対して、
{a∈L | h(a) = a (∀h∈H)} を
F(H) と表します。


gal(M) は G の部分群で、F(M) は L の部分体(K の拡大体)となっています。

中間体 M に対して gal(M) を対応させることと、部分群 H に対して F(M) を対応させることが、互いに逆対応となっていることを証明することを目指します。

今回の記事で、置換群についての基礎的な内容を使います。その内容を先に述べておきます。

置換についての考え方

先ほど述べた G の部分群を H1, H2 とします。

H2 ⊂ H1 であるとき、
F(H1) ⊂ F(H2) となります。

包含関係が逆転するのは、H1 のどの元の置換でも動かなければ、H2 のどの元の置換でも動かないという論理のためです。

今、H2 は H1 の部分群で、正規部分群かどうかは不明な状況ですが、H1 が有限群のときには、指数を考えることはできます。

[H1 : H2] = n とします。

このとき、h1, … , hn という代表元たちを取り、固定します。

すると、
h1H2, … , hnH2 という n 個が、H2 の H1 における左剰余類全体となります。

任意の a∈F(H2) に対し、
hiH2 の任意の元で a を移したときの行き先は、hi(a) である。
(i = 1, … , n)

この理由を述べておきます。

g∈hiH2 を任意に取ると、
ある σ∈H2 が存在して、
g = hiσ と表せます。

a∈F(H2) だから、σ で H2 の元が動きません。

そのため、
g(a) = (hiσ)(a)
= hi(σ(a)) = hi(a) となります。

i を 1 から n まで動かすと、
{h(a) | h∈H} という a を含むH-軌道に含まれている元は、n 個以下と分かります。

即ち、
{h(a) | h∈H}
= {h1(a), … , hn(a)} です。

i ≠ j のときに、
hi(a) = hj(a) と重複する可能性があるため、H-軌道に含まれる元の個数は、指数 n 以下ということです。

そこで、記述内容を簡略化するために、記号を導入します。

hiH2 という左剰余類を *hi と表し、
hiH2 の元で a を移した像について、
*hi(a) = hi(a) と表すことにします。

この置換の記号を使って、連立方程式を考える定理を次に証明します。

フランスの天才ガロアの理論なので、線形代数学と環論の二つを合わせて扉を開きます。

(n+1) 個の変数についての n 個の方程式には、自明でない解が存在するという線形代数学と多項式環の議論を合わせた内容を使います。

つまり、中学の数学で、変数の個数より方程式の個数が小さいときに、解が唯一のものとして定まらないということを行列の理論を使って線形代数学で学習した内容を使います。

可換体(可換環)なので、体における可換な乗法と合わせて考えます。

ガロア対応 :突破口は右から斉次で

【定理1】

有限次拡大 L/K に対し、G を L から L への K-同型全体とする。

また、G の部分群 H1, H2 が、
H2 ⊂ H1 だとする。

このとき、
[H1 : H2] = n < ∞ ならば
[F(H2) : F(H1)] ≦ n である。
※ [F(H2) : F(H1)] は F(H1) から F(H2) への拡大次数。


<証明>

結論を背理法で導きます。

[F(H2) : F(H1)] ≧ n+1 だと仮定します。

*h1, … , *hn という n 個が、H2 の H1 における左剰余類全体とします。
※ 記号の使い方は、上で述べた通りです。

今、F(H2) を F(H1) 上の線形代数と考えたときの次元が (n+1) なので、(n+1) 個の一次独立な F(H2) の元を取ることができます。

a1, … , an, an+1 を、それら (n+1) 個の F(H1) 上の一次独立な F(H2) の元とします。

先ほどの置換の記号を使うと、
*hk(as) = hk(as) です。

x1, … , xn, xn+1 を不定元として、各 k についての方程式を考えます。

*h1(a1)x1+…+*h1(an+1)xn+1 = 0L
*h2(a1)x1+…+*h2(an+1)xn+1 = 0L
  ・・・
*hn(a1)x1+…+*hn(an+1)xn+1 = 0L

(n+1) 個の変数の方程式が n 個という連立(斉次)方程式★ができました。

L の元を係数とする n 行の連立方程式です。
※ 各係数 *hk(as) は、F(H2) の元なので、L の元です。

変数の個数よりも方程式の個数の方が 1 個だけ小さいので、解の自由度が 1 という線形代数学で学習した内容が使えます。

解の自由度という記事で、証明を解説しています。

そのため、これら n 個の連立方程式には、自明でない解が存在します。
※ この解は L の元です。

xs の値が 0L でないと、n 個のどの方程式も xs という解をもつため、どの行の方程式にも 0L でない解をもつことになります。

この自明でない連立方程式の解の中で、0L の最も多いものを考えます。

その n 個の解を、
t1, … , tr, 0L, … , 0L とします。
※ t1, … , tr が L の加法単位元 0L でない L の元です。
※ 自明でない連立方程式の解なので、r は 1 以上です。

x(1) = t1, … , x(r) = tr, 残りの解は全て 0L と、番号を適切に付け直しています。

ここで、t1∈L は零元でないので、乗法逆元を n 個の方程式に右から乗じることで、1L を解としてもつと考えることができます。

そのため、t1 = 1L とします。

ここで、t1, … , tr が全て F(H1) の元だとすると、a1, … , an, an+1 が F(H1) 上の一次独立な F(H2) の元だったことに反します。

実際、(1) 行目の方程式で、
*h(1)(a(1))t1+…+*h(1)(a(r))tr = 0L

*h(1) の定め方から
h(1)(a(1))t1+…+h(1)(a(r))tr = 0L

tk∈F(H1) より、
h(1)(tk) = tk
(k = 1, … , r) だから、
h(1)(a(k))tk = h(1)(a(k))h(1)(tk)
= h(1)(a(k)tk)
(k = 1, … , r)

そのため、
h(1)(a(1)t1+…+a(r)tr) = 0L

h(1) の逆写像で両辺を移すと、
a(1)t1+…+a(r)tr = 0L

L の乗法は可換だから、
t1a(1)+…+tra(r) = 0L

F(H1) から F(H2) へのスカラー倍は、左から元を乗じるということでした。

そのため、
t1a(1)+…+tra(r) は、
a(1), … , a(r) の自明でない F(H1) 上の一次結合です。

これは、a1, … , an, an+1 が F(H1) 上の一次独立な F(H2) の元だったことに反します。

部分体の元を右から乗じることが部分体からの左からのスカラー倍ということにつなげたことで、「t1, … , tr が全て F(H1) の元ではない」ということが導けました。

t1 = 1L は部分体 F(H1) の乗法単位元なので、t2 から tr の中の少なくとも一つは F(H1) の元ではないということになります。

そこで、ti が F(H1) に含まれていないとします。

不定元 x から扉が開きました。

ここからは、群論と環論の合わせ技で、r = 1 ということを示します。

ここからは左からの置換

もし、2 ≦ r だったとします。

ti が F(H1) に含まれていないため、
ある H1 の元 σ が存在し、
σ(ti) ≠ ti となっています。

t1, … , tr, 0L, … , 0L という先ほどの連立方程式★の解を全て連立方程式に代入します。

*h(1)(a(1))t1+…+*h(1)(a(r))tr = 0L
*h(2)(a(1))t1+…+*h(2)(a(r))tr = 0L
  ・・・
*h(r)(a(1))t1+…+*h(r)(a(r))tr = 0L

横に長いので、シグマ記号を使って表すことにします。

1 ≦ k ≦ r に対し、
Σj *h(k)(a(j))tj = 0L です。

両辺を σ で移します。

0L = Σj σ(*h(k)(a(j))tj)
= Σj σ(h(k)(a(j))tj)
= Σj (σh(k))(a(j))σ(tj)

{h1H2, … , hnH2} が H2 の H1 における左剰余類全体でした。

今、σh1, … , σhn も左剰余類の代表元全体となります。

そのため、
{(σh1)H2, … , (σhn)H2}
= {h1H2, … , hnH2} です。
※ この σ が左剰余類全体についての置換を引き起こしている内容については、【定理1】の証明の後で説明します。

よって、
σ(t1), … , σ(tr), 0L, … , 0L
連立方程式★の解となっています。

t1 = 1L だったので、
σ(t1) = 1L でもあります。

同じ係数の方程式に代入して、辺々引くと、次の L の元たちも連立方程式★の解ということになります。

ガロア対応-証明

自明でない連立方程式★の解について、0L が確実に 1 つは増えました。

これは、t1, … , tr, 0L, … , 0L が自明でない連立方程式の解の中で最も 0L が多かったことに反します。

そのため、r = 1 でなければなりません。

※ 今の証明の部分は、r が 2 以上だと、0L の個数を増やすことができるという内容です。

これで、r = 1 となりました。

すると、t1 = 1L で、残りの連立方程式★の解が全て 0L ということになります。

このとき、連立方程式より、
*h1(a1)1L = 0L

つまり、
h1(a1) = 0L です。

h1 の逆写像で両辺を移すと、
a1 = 0L は F(H2) の加法単位元である零元です。

これは、a1, … , an, an+1 が F(H1) 上の一次独立な F(H2) の元であったことに矛盾します。【証明完了】

条件を満たすものが有限個数のときは、その個数について、max-min を設定しておくと決め手にできるときもあります。

先ほど使った左剰余類全体についての置換について解説をします。

左正則表現の考え方

H2 ⊂ H1 で、
{h1H2, … , hnH2} が左剰余類全体でした。

σ∈H1 を左から乗じるという左正則表現という H1 から H1 への置換を使って、左剰余類全体への置換を誘導することができます。

i ≠ j のとき、
もし (σhi)H2 = (σhj)H2 だとすると、
σ-1 を左から乗じると、
hiH2 = hjH2 となってしまいます。

そのため、(σhi)H2 ≠ (σhj)H2 となります。

このことから、
(σh1)H2, … , (σhn)H2 は相異なる n 個の左剰余類となります。

{h1H2, … , hnH2} と、左剰余類全体は n 個でした。

したがって、
{(σh1)H2, … , (σhn)H2} と
{h1H2, … , hnH2} は一致します。

先ほどの証明では、この左剰余類たちの置換の考え方と、連立方程式に解を代入した値たちを辺々引くといった環論の考え方を合わせて議論を進めました。

ここからは、ガロア対応が一対一対応であることの証明の詰めの部分です。

不等式を上下で合わせて一つの値を確定させます。

ガロア対応 :これが基本定理

【定理2】

有限次拡大 L/K の中間体を M, N とする。

そして、M ⊂ N とする。

このとき、
[N : M] = n ならば、
[gal(M) : gal(N)] ≦ n である。


この【定理2】と、先ほど示した【定理1】で議論を進めます。

【定理1】

L から L への K-同型全体の群 G の部分群 H1, H2 が、
H2 ⊂ H1 だとする。

このとき、
[H1 : H2] = n < ∞ ならば
[F(H2) : F(H1)] ≦ n である。


有限次拡大 L/K の中間体全体を A、L から L への K-同型全体から成る群 G の部分群全体を B と表すことにします。

G の単位元である L から L への恒等写像を 1 と表すことにします。

L, K∈A, G,{1}∈B となっていて、次の逆包含関係で対となっています。

M, N∈A が M ⊂ N のとき、
gal(N) ⊂ gal(M) です。

H1, H2B が H2 ⊂ H1 のとき、
F(H1) ⊂ F(H2) です。

A と B についての対応 φ と ψ を次のように定義します。

φ : AB
M∈A に対して、
φ(M) = gal(M) とします。

中間体 M について、M-同型となっている L から L への体としての自己同型から成る部分群を対応させます。

また、
ψ : BA
H∈B に対して、
ψ(H) = F(H) とします。

部分群 H について、H の任意の元で動かない L の元をすべて集めてできる部分体を対応させます。

ここで一つ重要な仮定を一つ加えます。

【ガロア理論の基本定理】

有限次拡大 L/K について、
F(gal(K)) = K とする。

このとき、φ の逆写像が ψ である。

<証明>

中間体 M∈A について、
K ⊂ M なので、【定理2】を適用します。

[G : gal(M)] ≦ [M : K] …(1)

次に gal(M) ⊂ G より、【定理1】を適用します。

[F(gal(M)) : F(G)] ≦ [G : gal(M)]

F(G) = F(gal(K)) = K より、
[F(gal(M)) : K] ≦ [G : gal(M)] …(2)

ここで、M ⊂ F(gal(M)) です。

そのため、
[M : K] ≦ [F(gal(M)) : K] …(3)

よって、
[M : K] ≦ [G : gal(M)] …(4)

(1), (4) より、
[M : K] = [G : gal(M)]

これより、(1) から (4) の全ての不等式が等号になります。

特に、(3) より、
[M : K] ≦ [F(gal(M)) : K]

これは、K から F(gal(M)) への拡大次数と K から M への拡大次数が同じということです。

M ⊂ F(gal(M)) だったので、集合として対等になります。

即ち、M = F(gal(M)) です。

これは、ψφ という合成写像が A から A への恒等写像ということです。

今度は、φψ が恒等写像になることを示します。

やはり二つの定理で上下から

部分群 H∈B について、
{1} ⊂ H なので、【定理1】を適用します。

[F({1}) : F(H)] ≦ [H : {1}]

F({1}) = L だから、
[L : F(H)] ≦ [H : {1}] …(5)

F(H) ⊂ L なので、【定理2】を適用します。

[gal(F(H)) : gal(L)] ≦ [L : F(H)]

L のすべての元を固定する L から L への同型写像は恒等写像のみです。

そのため、gal(L) = {1} より、
[gal(F(H)) : {1}] ≦ [L : F(H)]

ここで、H ⊂ gal(F(H)) だから
[H : {1}] ≦ [gal(F(H)) : {1}] より
[H : {1}] ≦ [L : F] …(6)

(5), (6) より、
[H : {1}] = [L : F] となります。

そのために、間に挟まれていた不等式は全て等号になります。

特に、[H : {1}] = [gal(F(H)) : {1}] です。

部分群の位数について、
|H| = |gal(F(H))| であり、
H ⊂ gal(F(H)) なので、
H = gal(F(H)) です。

つまり、φψ(H) = gal(F(H)) = H です。

これは、φψ が B から B への恒等写像ということです。

以上より、φ の逆写像が ψ ということが示せました。【証明完了】

ガロア理論の基本となる定理なだけに、用語をまとめておきます。

【定義】

有限次拡大 L/K について、
F(gal(K)) = K とする。

このとき、L/K を有限次ガロア拡大という。

また、有限次ガロア拡大 L/K において、
gal(K) という L から L への K-同型全体から成る群をガロア群という。

K ⊂ F(gal(K)) は定義から分かりますが、集合として対等になっている(一致している)という条件がついている特別な代数拡大になります。

この有限次ガロア拡大は、正規拡大で、対応する部分群が正規部分群かどうかということについての議論へと話が広がります。

すべてを述べると長くなるので、ここで今回の記事を終了します。

読んで頂き、ありがとうございました。